Gateaux导数链式规则的条件

Question

让$X、Y、Z$上的局部凸拓扑向量空间$\mathbb卢比$（不一定是巴纳赫），$D_X\subseteq X（$D_X）$,$D_Y\subseteq Y（$D_Y）$然后让$f\colon D_X\到D_Y$,$g\冒号D_Y\到Z$。让我们假设$f美元$Gateaux在某些方面是可区分的吗D_x中的$x\$和$克$Gateaux在$f（x）$.

链规则最不为人所知的附加条件是什么？我所说的链式法则是指$克\circ f$Gateaux是可区分的$\mathrm d（g\circ f）（x；\cdot）=\mathrm-d g（f（x））；\mathrm d f（x；\cdot））$.

维基百科表示的导数的连续性$f美元$和$克$是必需的，但它没有指定这是否仅意味着$\mathrm df\colon D_X\times X\到Y$应该是连续的，或者更重要的是，$x\mapsto\mathrm df（x，\cdot）\单位L（x，Y）$应该是连续的（当然，对于$克$).

一般认为$D_X美元$和$D_Y（美元）$是开放的还是足以知道他们是x美元$和$f（x）$?

还请帮助我找到可引用的参考文献。我查了一些书，但没有找到这个链式法则。

此问题也已发布在math.堆栈交换几天前，但到目前为止还没有得到答案。

Answer 1

链式法则在给定点对上成立的一般（必要和充分）条件x美元$和$y=f（x）$是那个吗$克$Hadamard（也称为紧或准）在美元$通常假设域是开放的，但（几乎无关紧要的）可以放宽这一要求${\rm dom\，}f$成为“明星”x美元$和${\rm dom\，}g$在“顺序相切”美元$。这里的“星形”意味着$u（美元）$在里面X美元$有$\delta\in\mathbb R（$\delta\in\mathbb R）^+$这样的话$x+tu\在{\rm dom\，}f中$等待$|t|<\增量$“顺序相切”是指对于任何序列$v_n\到v$在里面Y美元$和$t_n\到0$有n_0美元$这样的话{\rm dom\，}g中的$y+t_nv_n$等待$n_0\le n$有关开放域的详细信息，请参阅山村的拓扑线性空间中的微分学斯普林格LNM 374（1974）1.2.7，第9至13页。这些结果已经出现在Averbukh和Smolyanov的“线性拓扑空间中导数的各种定义”中俄罗斯数学。调查 234（1968）67−113和Sova“线性拓扑空间可微性的一般理论”捷克的。数学。J。 14(1964) 485−508.