为什么要研究李代数？

Question

我并不想粗鲁地问这个问题，我知道李群和李代数的理论是一个非常深刻的理论，非常美观，在数学和物理的各个领域都有广泛的应用。我上了一门关于李群的课程，还有一门关于李代数的初级课程。但我不完全理解这些理论是如何应用的。实际上，我甚至不理解李群在微分几何中的重要性。

除其他外，我知道以下事实：

1. 如果G美元$和H美元$是两个李群G美元$简单连接，以及$\mathfrak{g，h}$是它们各自的李代数，那么李代数同态之间存在一对一的对应关系$\mathfrak{g}\rightarrow\mathbrak{h}$和群同态$G\右箭头H$.

2. 如果我们更换H美元$带任何歧管百万美元$：来自的任何李代数同态$\mathfrak{g}$李代数$\伽马射线（TM）$光滑向量场的百万美元$引起当地行动G美元$在百万美元$.

3. 在某些条件下，如（我认为）紧性$\mathfrak{g}$与群的实际上同调同构G美元$.我知道计算$\mathfrak{g}$在某些情况下是容易处理的。

4. 李代数的表示理论有很多值得一提的地方。

5. 紧连通无心李群$\左右箭头$复半单李代数

人们如何使用李群和李代数？他们会问哪些李群或代数会有帮助？如果一个几何学家读到了这篇文章，你怎么用谎言理论呢？李代数的表示理论如何在微分几何中有用？

Answer 1

这里有一个简单的答案：李群提供了一种表达几何物体连续对称族概念的方法。微分几何的大多数（如果不是全部）都围绕着这一点。通过对李群作用的微分，你得到了一个李代数作用，它是群作用的线性化。作为线性对象，李代数通常比直接处理相应的李群容易得多。

每当你做不同类型的微分几何（黎曼、卡勒、辛等）时，总会有一个李群和代数潜伏在周围，无论是显式的还是隐式的。

学习每一个特定的几何学，使用特定的李群和代数，而无需学习任何一般理论，这是可能的。然而，了解一般理论并找到适用于不同类型几何结构的通用技术是非常有用的。

此外，李群和代数的一般理论导致了几何对象的各种重要显式示例。

我认为李群和代数接近或处于数学宇宙的中心，是我所知道的最重要和最有用的数学对象之一。据我所知，它们不仅在微分几何中，而且在数学的大多数其他领域都发挥着核心作用。

补充：我必须说，我理解为什么需要问这个问题。我认为我们没有正确地向学生介绍李群和代数。即使不是所有的基础课程，也是大多数课程都缺少这些课程。除了正交群和可能的酉群外，它们在微分几何课程中很少被提及。他们经常在一个单独的李群和代数课程中介绍给学生，在这个课程中，对我来说，一切都讨论得过于抽象，与其他学科过于隔离。

Answer 2

下面是创建有趣黎曼流形的一个非常基本的方法：让$G$是一个半单李群，让$K$是它的最大紧子群，让$\Gamma$是$G$的离散子群，并形成$G/K.$这个商称为附加到$G$上的对称空间。

黎曼结构来自$G$上的不变度量，因此$G$充当等距在$G/K$上进行左转。

如果你考虑一下这个案子$G=SL_2（\mathbb R）$，则得到$SL_2（\ mathbb R）/SO（2）$，它自然与复杂的上半平面标识（$SL_2；笔记点$i$由$SO（2）$精确稳定，这也是双曲平面。其他群给出了高维双曲空间（例如$SL_2（\mathbb C）$gives双曲线$3$-空间），Siegel上半空间（来自辛群），复杂的球和许多其他著名的空间。

如果现在取$G$的离散子群$\Gamma$，则可以形成双商$\Gamma\反斜杠G/K$。这些是数学中最著名的黎曼流形。在$SL_2（\mathbb R）$的情况下，通过均匀化，我们知道所有亏格$\geq 2$Riemann曲面都可以用这种方法描述。在$SL_2（\mathbb C）$的情况下，我们得到了双曲$3$-流形，从辛群得到了阿贝尔变种的模空间。

现在（正如前面的讨论所希望阐明的那样），许多这些空间都是由其他不涉及谎言理论的名称所知道的，并且可以用非谎言理论的方式进行研究。但是，谎言理论的观点提供了一个统一且经常澄清的观点。例如，这些空间的上同调或函数理论不变量通常可以通过李论工具（例如通过李代数上同调）进行描述和计算组$G$的某些单一表示）。

最后，让我指出一个一般原则是，当某些对称性在给定的上下文中隐含时（例如$SL_2（R）$是上半平面的双曲等距组），最好显式地突出它们并加以考虑。在几何学中，出现的对称群（一个空间，或者它的普适覆盖）通常是李群。因此，对李理论的一点了解可以成为研究给定几何情况的有力工具。

另外，我还应该注意到，对某些$\Gamma$（所谓同余子群）的空间$\Gamma\backslash G/K$的研究是Langlands程序的基本主题之一，这些空间的函数理论和上同调（尤其是它们的表示-理论结构）被推测支配着大量的数论。试图理解和研究这些猜想是我学习谎言理论的动机。

Answer 3

李研究李群和李代数的动机是微分方程的解。李代数是微分方程的无穷小对称，与伽罗瓦关于多项式方程的工作类似，理解这种对称性有助于理解方程的解。

我在

彼得·奥尔弗（Peter J.Olver）。，李群在微分方程中的应用。，数学研究生课文。107.纽约：Springer-Verlag。xxviii，513 p.（1993）。ZBL0785.58003号.

Answer 4

我喜欢迪恩的回答，我怀疑我能改进它，但这里是一个尝试。对基本粒子的一种理解是，它们是经典李群的表示。我认为这足以成为研究它们的理由。但更确切地说，这个圆是李群最容易研究的例子之一。它的李代数是实线。指数映射就是指数映射$e^｛i\theta｝。$圆和线很重要。下一个最简单的例子是3个球体（$SU（2）$），其李代数为3个空间，李括号给出$i，j，k$。这些都是很酷的例子。一般理论可能也很酷。

Answer 5

虽然标题是关于李代数的，但问题正文提到了李群，我的答案将更多地涉及这些。如其他答案所述，李群在几何中经常作为几何对象的对称组出现。例如，给定一个流形$M$，我们有时可以找到一个以某种有趣的方式作用于$M$的Lie群$G$，因此希望此操作可以同时产生$G$和$M$信息也不是没有道理的。

让我们看一些更具体的东西。假设我们有一个紧连接的Lie群$G$在流形$M$上“以某种好的方式”活动。在这种情况下，人们通常会将$M$分解成$G$轨道，然后逐一研究每个轨道。每个轨道都是$G$的均匀空间$G/H$，其中$H$是轨道中某个点的稳定器。空间$G/H$看起来非常对称，人们可能会尝试利用对称性来获得一些结构信息。粗略地说，我们所做的一切都被抛在了一边，现在主要是与团队合作。当然，一个有趣的特例是当$G$对$M$的作用是可传递的，即当$M$中只有一个$G$-轨道时，$M=G/H$本身就是一个齐次空间。关于$G/H$形式的流形，有很多话要说，所以我将仅限于两件事。

1)$G/H$的（实）上同调的计算成为涉及$G$和$H$的李代数$\mathfrak｛G｝$和$\mathfrak｛H｝$的问题，它们是线性代数对象! 特别地，如果$H$在紧连通李群$G$中是闭的且是连通的，则上同调环$H^\ast（G/H；\mathbb{R}）$与相对李代数上同调圈$H^\ ast（\mathfrak{G}，\mathfrak{H}；\mathbb{R{）$同构。例如，如果$H$是平凡子群，我们得到了OP中提到的同构$H^\ast（G；\mathbb{R}）\congH^\asp（\mathfrak{G}；\mathbb{R{）$；实际上，计算$H^\ast（\mathfrak{g}）$是一个更容易处理的问题。另一个有趣的特例是，$H$是$G$中的最大环面，但我在此不再赘述。。。

2)$G/H$上的向量丛与$G$的表示理论有关。严格地说，这只适用于等变的向量束，即向量束$\pi\colon e\到G/H$，其中$G$以尊重其在基$G/H$上的作用的方式作用于总空间$e$：也就是说，我们要求$\pi（ge）=G\π（e）$表示G$中的所有$G\和e$中的$e\，并且光纤$e_x\到e_{gx}$之间的转换是线性的。然后，可以看到$G/H$中平凡陪集上的纤维携带$H$的表示。有$G$潜伏的动作吗？是的：$G$作用于层上同调$H^\ast（G/H，V）$！因此，我们可以将$H^\ast（G/H，V）$的上同调与$G$的表示理论联系起来。

一个非常重要的特例是当$H$是最大环面$T$，$V$是等变（全纯）线丛$L到G/T$（让我们不要担心“全纯”位）。（有一个神奇的事实，如果$G$是简单连接的，那么每一个$G/T$上的全纯线丛是自动等变的。特别地，这意味着即使$G$不是单连通的，我们总是会得到$G$的李代数$\mathfrak{G}$在$H^\ast（G/H，L）$上的一个作用，即使没有$G$对应的作用。换句话说，我们可以使用$\mathfrak{g}$的表示理论来研究$H^\ast（g/H，L）$根据$G$的表示理论，对$H^\ast（G/T，L）$有一个非常明确的描述：事实证明，$H^\ast$要么完全消失，要么在单次$q_L$中为非零，在这种情况下，$H^{q_L}（G/T，L）$是$G$的不可约表示。（这可以变得更加精确；特别是对$q_L$和由此产生的不可约表示（以权重表示）进行了明确的描述。这里的关键短语是“Borel--Weil--Bott定理”。）

这是一个具体的例子。如果$G=\operatorname{SU}（2）$和$T$是其对角线子群，则$G/T=\mathbb{C} P（P）^1$，我们可以使用Borel—Weil—Bott定理来描述上同调群$H^\ast（\mathbb{C} P（P）^1，\mathcal{O}（n））$。例如，$H^0（\mathbb{C} P（P）^1，\mathcal{O}（n））=\text{Sym}^n（\mathbb{C}^2）$（对于$n\geq0$）来自于这样一个事实，即$\text{Sem}^（\mathbb{C{^2）$$是最高权重$n$的$\operatorname{SU}（2）$的不可约表示。

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李群在几何中重要还有一个明显的原因：它们本身就是几何对象（即流形）！所以你不能期望对一般流形说一些不能对它们说的话。由于李群是一类行为相对良好的流形，因此可以将其用作更一般结果的测试用例或发射台。同质空间$G/H$也是如此。例如，当应用于$G/T$时，一般结果如Atiyah--Bott不动点和Atiyah--Singer指数公式（其中$G$是紧连通李群，$T$是最大环面）与$G$的Weyl字符公式密切相关。

Answer 6

首先，您的点3）可以扩展到齐次空间的（子）类。

表示论的一个很好的应用示例是Kaehler流形的Hodge理论，如Wells的书《复杂流形的微分分析》中所做的那样。在一个复杂的流形上，你有一个非常自然的$（p，q）$-forms和$\partial$和$\overline{\partial}$操作符的概念。可以将其视为外部形式和deRham微分在保持几何结构的子群下的分解。但故事并没有就此结束——原始上同调的关键概念实际上最好从$\mathfrak｛sl｝（2，\mathbb｛C｝）$的表示理论的角度来考虑，该表示理论对外部形式的作用与结构群的作用相转化。

在这个例子中，表示理论有助于组织事物和计算，在本质上有许多相似的表示。例如，在由球谐函数组成的球面上调和函数的正交基也是表示理论的一个练习，这种基的优点是其函数的对称性。

补充

让我也试着解释杨迪恩的答案，并解释李群在微分几何中的重要性。Bernhard Riemann通过发展黎曼几何并引入关键不变量——黎曼曲率，解决了等价问题（即球面是否局部等距于平面的问题）。Elie Cartan开发了解决此类等价问题的通用方法（参见卡坦等效法或移动框架的方法维基百科上）。李群的概念在那里已经很明确了，因为它代表了人们感兴趣的几何结构的对称性。这种方法后来发展成为现在所称的方法Cartan几何非正式地，这些几何图形是Klein几何图形的弯曲版本。这个故事可以这样讲：

1） 经典综合几何（欧几里德、射影、李球几何等）

2a）黎曼对欧几里德几何的推广，流形的引入

2b）Klein的Erlangen程序，该程序假定每种几何形状都由均匀空间$G/H决定$

3） Cartan用$H$主束对这些同质空间进行了推广，它包含了前两个推广（有关详细信息，请参阅夏普.)

给定一个几何结构，具有这种结构的流形范畴与适当的Cartan几何范畴同构（其某个子范畴）通常是一个难定理。然而，Cartan的方法给了你关于几何的非常一般和概念的观点，比如黎曼、共形、射影、Kaehler、四元数Kaehler、超Kaehler、接触射影、CR。。。

李代数和表示理论也出现了，因为$G/H$的切空间可以用与$G$-表示$\mathfrak{G}/\mathfrak{H}$相关联的齐次向量丛来标识（这是人们一直在谈论的线性化之一）。可以将曲率张量视为这些张量积的一个元素，并将其分解为不可约子表示，然后从黎曼几何中推广Weyl曲率和Ricci曲率。数学物理中的狄拉克算子可以被认为是由投影和某些表示之间的缠绕映射组成的deRham微分。事实上，即使像李代数上同调这样的奇特工具也发挥了作用（关键词是“调和曲率”）。

最后，你会看到，为了理解李群在几何中的外观，你必须阅读克莱恩的程序。剩下的只是巧妙的技术，允许非平面的东西。；-）

Answer 7

现代微分几何的大型子领域几乎从未使用李群理论，例如，就我所见，它们从未在Schoen-Yau的“微分几何讲座”中被提及，并且它们在比较几何中的作用相当有限。李群在黎曼几何中的主要用途是：

1. 全息组。

2. 主要捆绑包和Chern-Weil理论。

3. 齐次和对称空间，作为基本示例的来源黎曼流形。

4. 具有双边曲率边界的坍塌理论（其中局部模型是幂零李群）。

小林宫宫的两卷本《微分几何基础》广泛讨论了1、2、3。

Answer 8

如前所述，李群是编码连续对称性的最佳理论。李代数理论是无穷小的对应物，它是一个足够好的理论，许多问题都可以通过查找而不是从第一原理进行论证来解决。你可以看看历史，尤其是卡坦和威尔；你可以看看人们想研究的“交换关系”的例子；你可以看看表示论、根系统或泛包络代数理论；你可以看看弦论或兰兰兹哲学。人们发现，很自然地将李代数视为李群后面的线性化对象，并且更容易研究。

Answer 9

这可能是一个过于简单的答案，但这个链接中的介绍给出了一个非常清楚的理由和例子，说明我们为什么要研究李群和代数。

http://www.math.sunysb.edu/~kirillov/mat552/liegroups.pdf

Answer 10

我想提到的是，定义在素特征域上的李代数在几个领域也非常有用。例如，它们在代数几何（尤其是仿射群方案）、群论（例如，解决受限Burnside问题）或场论（纯粹不可分割的场扩展）中有许多应用。

Answer 11

除了A.Prasad的优秀推荐（Olver的书），我建议你看看赫尔加森的笔记

尤其是，结账是一个好主意这一页的底部。附加阅读部分的最后三篇论文对李群的起源进行了非技术性的描述。

Answer 12

为了参考和阐述A.Prasad的答案，我想补充以下文章，其中传达了使用李群来非常简洁地求解微分方程的一般思想

J.Starrett用对称群求解微分方程

此外，您可能会发现以下书籍很有帮助：

P.Hydon微分方程的对称方法

Answer 13

我希望您可能对仅限于动力系统（DS）的问题感兴趣：

1. 人们如何在DS中使用李群和李代数？
2. 他们会问哪些李群或代数是什么问题DS有什么帮助吗？

在DS中，人们特别感兴趣的是：稠密轨道和流形上群作用的不变测度。研究这一点的工具是遍历理论（ET）。

有一个关于顺从群体行为的抽象ET（Ornstein-Weiss），我已经看到李群提供了：具体的例子，反例和这个抽象理论的扩展。我还看到，李群允许证明深层ET结果的一个重要原因是，它们很好地适应了谐波分析理论，而谐波分析是ET的主要机制之一。

李群的ET是一个非常广泛的理论，仅举几个例子：

示例1。

设$G\subet SL（\mathbb｛Z｝，d）$（使得$G$在$\mathbb｛R｝^d$上不可约作用，并且$G$做不包含有限指数的阿贝尔子群）。那么d-环面上的$G$-作用是强遍历的（“G-不变测度是唯一的G-不变均值”）。此外，在强遍历的d-环面上，$G$-作用具有$G\子集SL（\mathbb{Z}，d）$。更抽象地说，如果$G$是一个具有有限中心的连通非紧单李群，则该作用是强遍历的。

以下是A.FURMAN和Y.SHALOM的定理，它们推广了Rosenblatt：

1. A.Furman和Y.Shalom。群作用的Sharp遍历定理和强遍历性。
2. J.罗森布拉特。度量保持变换的不变方法的唯一性。事务处理。阿默尔。数学。Soc.265（1981），623–636

示例2。

轨道等效刚度（Zimmer）：

设$G_1$和$G_2$是非紧的简单李群，具有$R$-$rank（G_1）\geq2.$如果$（G_1,X_1）$是等价于$（G_2，X_2）$的轨道，则$G_1$s是$G_2$s的局部同构，并且在群自同构之前，动作是同构的。

示例3。

A.Avila、B.Fayad和A.Kocsard在（关于支持分布唯一遍历微分的流形）中提供了Forni在“关于三维Greenfield-Wallach和Katok猜想”中提出的一个猜想的一些反例。

R·齐默是李群行为理论的一个很好的参考。遍历理论和半单李群。1984年，波士顿，Birkh¨auser。

你可以通过以下方式找到深层次的结果：A.Avila、V.Bergelson、G.Forni、J.Rosenblatt、A.Furman、H.Furstenberg、D.Y.Kleinback、G.A.Margulis、Y.Shalom、A.Katok和Zimmer等。

Answer 14

为了对李群及其在计算机视觉中的应用有更深入的了解，请阅读以下帖子：

https://web.archive.org/web/20160909004917/http://www.technicoder.com/blog/Lie_Group_in_Computer_Vision.html

通常，它在不同的应用中非常有用，例如分析刚性变换，甚至非刚性变换。我很少看到其他应用程序，例如DTI成像分析。