消除误解：在ZFC中定义“是ZFC的模型”

Question

将单个公式与模型相对化与通过Gödel运算编码满意度关系来表达“是模型”之间的差异，经常会引起很多混淆。我认为这部分可以归因于使用公式而非编码的普遍偏好。例如，一个标准证明表明$V_{\kappa}\models ZFC$For$\kappa$unaccessable将诉诸于这样一个事实，即所有与$V_}\kappo}$相关的ZFC公理都是真的。但随后我们学习了Lévy反射定理方案，该方案允许公式的每一个（有限）合取都能反映到某些$V{\alpha}$。也许在这一知识之后，会出现一个问题，即紧性定理是否可以用来反驳哥德尔的第二不完全性定理。

具体考虑以下内容错误的证明ZFC+CON（ZFC）证明其一致性的证据：

在集合论语言中引入一个新的常数$M$，并将其所有公理$\varphi_n$相对化为$M$（表示为$\varfi_n^M$）添加到ZFC的公理中。如果ZFC是一致的，则该理论的每个有限集合都通过Lévy反射定理是一致的。紧致性定理告诉我们，整个理论ZFC+“$M\models ZFC$”将是一致的。因此，该理论有一个（ZFC）模型$N$，因此在该模型中，存在一个ZFC模型$M$。综上所述，在ZFC+CON（ZFC）中，我们似乎已经证明了我们有一个ZFC模型$N$，它通过模型$M$来建模ZFC的一致性（即，似乎有$N\模型ZFC+CON（ZFC）$，因此我们有CON的证明（ZFC+CON（ZVC））。

这个证明中的错误当然是对紧致性定理结论的误用，主要是假设这样一个$N$将认为$M$是ZFC车型。通过列举ZFC公理$\{\varphi_n|n\in\mathbb{n}$的公式，很明显$n$肯定会认为任何特定$n\in\mathbb{n{$的$M\models\varphi_n$类似于Peano算法的非标准模型如何具有满足任何特定$n\mathbb{n}$$c>n$的元素$c$。当然，在$N$的情况下，问题是可能存在未考虑非标准指数的公式，就像PA示例中肯定会有大于$c$的非标准数字一样。

如果要用更繁琐的语法算术进行同样的证明，那么这种联系可能会更明显。

在较小程度上，也可能会混淆$0^{\sharp}$为我们提供了一个适当的$L（\alpha）\precqL$类。这可能会导致$L$是否有自己的真值谓词的问题，这与Tarski定理相矛盾。但当然，$L$只会意识到这些$\varphi^{L（\alpha）}$中的每一个对于任何ZFC公理$\varphi$都是真的，如果人们试图诉诸语法的算术化，人们可以开始看到这样一个问题，即这些$\alpha$在可构造的宇宙L中可能不可定义（当然也不会）（没有参数）。

由于这些类型的误解在逻辑学家和非逻辑学家中都很常见，我想我会问那些曾经解决过这些问题或帮助别人理解这些问题的高度聪明的数学家，如果他们也愿意在这里这样做的话。我认为，从MO社区的集体观点出发，收集这方面的智慧，可以对所有人有所启发。因此，我的问题如下：

对于ZFC中“是ZFC的模型”的形式化问题以及出现的各种“悖论”，您可以分享哪些见解？

例如，也许你可以展示一个相关的看似矛盾的问题并解决它，或者简单地分享你对如何避免这种逻辑陷阱的想法。

Answer 1

下面是您请求的结果我觉得这很矛盾。

定理。ZFC的每个模型都有一个元素ZFC模型。也就是说，每个$M\models ZFC$都有一个元素$m$，$m$认为它是set语言中的结构理论，集合$m$和$m$上的二元关系$e$，例如如果我们从外部考虑对象集$\barm=\{\a\|\m\用关系$a\mathrel{\bare}在m\}$中建模b\leftrightarrow M\models a\mathrel{e}b$，然后$\langle\bar m，\bar e\rangle\models ZFC$。

许多逻辑学家本能地反对定理不完全性定理的基础，因为我们知道$M$可能会为$ZFC+\neg\text{Con}（ZFC）$建模。这是真的这种$M$不能有$M$认为的模型ZFC模型。然而，这一悖论通过以下方式得到了解决你的问题和其他答案中提到的问题，定理并没有声称$M$同意$M$是$M$的ZFC模型，但仅限于外部（实际）ZFC的模型。毕竟，当$M$非标准，可能是$M$不同意$M$$满足ZFC，即使$m$实际上是ZFC的模型，因为$M$可能有许多非标准公理，它坚持上。

定理证明。假设$M$是ZFC的模型。因此，特别是，ZFC是一致的。如果$M$是$\omega$-标准，表示它只有标准自然数，则$M$具有所有相同的证明我们在元理论中所做的ZFC公理，以及$M$同意ZFC是一致的。在这种情况下，由完备性定理应用于$M$，如下所示是一个$m$认为满足ZFC的模型，因此它确实如此。

当$M$不是$\omega$-标准。在这种情况下，让$M$枚举它认为是ZFC的公理，按照Goedel数的顺序。的初始段这种排序由ZFC的标准公理组成。每这些公理的有限集合在某些情况下是正确的$（V_\alpha）^M$通过反射定理的一个实例。因此，由于$M$无法确定其自然数，（通过溢出）此枚举的一些非标准初始段$M$认为在某些$M=（V_\alpha）^M$中是正确的。从那以后初始段包括ZFC的所有实际实例根据公理，$m$实际上是ZFC的模型，甚至如果M$不同意，因为它可能认为非标准公理在$M$中可能会失败$\盒子$

我第一次从Brice Halimi那里了解到这个定理，他于2011年访问了纽约，随后在：

布里斯·哈利米,模型作为宇宙《圣母院J.形式逻辑》58，第1期，47-78（2017）。ZBL06686417号.

注意，在$M$是$\omega$-非标准的情况下，我们实际上得到了秩初始段$（V_\alpha）^M$是ZFC的模型。从$M$的角度来看，这是一个非常好的传递集。

ZFC的可计数可计算饱和模型还存在其他矛盾的情况。首先，每个这样的M包含秩初始段$（V_\alpha）^M$，使得在外部，$M$同构于$（V_\alpha）^M$。其次，每个这样的$M$都包含一个元素$M$，$M$认为它是集合论片段的$\omega$非标准模型，但从外部来看，我们可以看到$M\cong M$。换个角度来看，每一个这样的$M$都可以放在另一个模型$N$中，它是同构的，但它认为$M$是非标准的。

Answer 2

大多数混淆通常来自以下事实：ZFC的模型认为什么是公式，即模型中满足模型中应用的公式的定义，以及现实世界中的公式。虽然每个现实世界的公式都可以转换为模型中的对象，模型认为是公式的所有内容在现实世界中并非都有类似之处。特别是，并不是所有满足模型中ZFC公理定义的内容都对应于真正的ZFC公示。但这种类型的问题只出现在非标准模型中（自然数集合不完善）。然而，完备性定理和紧致性定理通常会产生非标准模型。

另一个令人困惑的原因是，没有ZFC模型ZFC的任何传递模型（或等效的任何基础良好的模型）。
这里的要点是，即使ZFC包含正则性公理，它表示$\in$-关系是有充分根据的，集合论的模型可以相信它是有充分依据的，而实际上并非如此。这是因为，从外部来看，我们可能会看到$-序列中的$\无限减少，但模型不包含其中任何一个（仅包含此类序列的单个元素，而不包含序列本身）。

Answer 3

我怀疑这类问题是通过两种方式出现的：忽视错误（例如，斯科利姆悖论，集合论中存在着相信不可数集合的可数模型）和忽略一阶性：具有无限模型的一阶理论有各种更大尺寸的模型；但在任何宇宙中，完全有序场只有一个同构类——完全有序场不是场的一阶性质，而是关于事物的一阶陈述在某个宇宙中.

相反，清楚地教授这两种现象应该有助于我们避免麻烦。当然，除非ZFC证明自己是一致的。。。