剩余有限性和一个胶合问题

Question

以下流程图来自瑟斯顿的论文3-流形上的双曲结构I.我不知道我的解释是否正确，但在底部它说

剩余有限性“意味着”几何有限群的一般胶合问题的解。

但在关于3流形上双曲结构的系列论文中，我找不到他在哪里解释了与上述相关的东西，甚至找不到“一般粘合问题”的含义。我认为箭头并不是真正意味着暗示什么，而是意味着它们或多或少有关联。我猜这里的“粘合问题”是找到一个固定点$\tau\circ\sigma$哪里美元\套$是一种定向反转的定点无对合$\mathrm｛Teich｝（\overline｛\partial M｝）\到\mathrm｛Teich｝（\partial M）$和美元\西格玛$是蒙皮贴图$\mathrm{Teich}（\partial M）\to\mathrm{Teich}（\上划线{\partial-M}）$对于拟Fuchsian端$\部分M$完全双曲3-流形的百万美元$具有共形边界。我知道在瑟斯顿证明哈肯流形双曲化时，这个粘合问题是有关的。但我想知道的主要问题是与剩余有限性的关系。

问：这里“一般胶合问题”的含义是什么？剩余有限性如何与胶合问题相关？

Answer 1

瑟斯顿从未完成过他的项目，因此，我们无法确切地知道他在图表的这一部分中到底想做什么。以下是我们所知道的：

1. 好的紧致三维球形体的基本群是剩余有限的。Hempel于

约翰·亨佩尔，3-流形的剩余有限性，组合群论和拓扑，Sel。巴普。会议，阿尔塔/犹他州1984年，Ann.Math。螺柱111379-396（1987）。ZBL0772.57002号.

亨佩尔把这个想法归功于瑟斯顿。然而，据我所知，这个结果并没有用于瑟斯顿定理的任何证明。

2. 中给出的瑟斯顿定理的可用详细证明

迈克尔·卡波维奇,双曲流形与离散群《数学进展》（马萨诸塞州波士顿）。183.马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser。xxv，467页（2001年）。ZBL0958.57001号.

Jean-Pierre奥塔尔《哈肯流形的瑟斯顿双曲化》，Hsiung，C.C.（编辑）等人，《微分几何中的测量》。第三卷《微分几何杂志》补遗。1996年5月3日至5日，美国马萨诸塞州剑桥市哈佛大学，为纪念川志雄80岁诞辰而举办的几何学和拓扑学讲座。马萨诸塞州波士顿：国际出版社。77-194 (1998).ZBL0997.57001号.

Jean-Pierre奥塔尔，纤维3流形的双曲化定理。Transl.公司。Leslie D.Kay的法语，SMF/AMS文本和专著。7.普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）。xiv，126页（2001年）。1986年5月1日.

以及中的大纲

J.W.摩根。，关于三维流形的Thurston一致化定理（第五章），Smith猜想，Pure Appl。数学。112, 37-126 (1984).ZBL0599.57002号.

所有的证明都使用了瑟斯顿的“球形技巧”。这些证明需要构造一些三维球形的有限流形覆盖。但是这些证明是直接的，并且没有使用更一般的剩余有限性结果（既不是Hempel论文中的结果，也不是Maltsev 1940年关于有限生成矩阵群的定理）。

当然，瑟斯顿定理也是佩雷尔曼定理的一个推论，但这与你的问题无关。