非线性边值问题解算子的二阶可微性

Question

我目前正在阅读报纸[1]。本文涉及BVP：\开始{align*}\partial_t u-\增量u+u（u-a）&=-qu\text{in}]0，t\mathclose[\times\Omega\\[6pt]\部分_{n} u个&=0\text{in}]0，T\mathclose[\times\partial\Omega\\[6pt]u（0）&=u_0\text{in}\{0\}\times\Omega\结束{align*}

哪里$u（美元）$是状态，q美元$是控件和$u=S（q）$溶胶。操作员。

为了推导二阶最优性条件，作者计算了二阶导数美元“（q）[p，p]$，作为解决方案$v_{pp}$致BVP：\开始{align*}\partial_{t}v_{pp}-\Delta v_{pp}+（2u+q-a）\cdot v_{p}&=-2v_p（v_p+p）\text{in}\Omega_t\\[6pt]\partial_n v_{pp}&=0\text{in}\Sigma_T\\[6pt]v_{pp}（0）&=0\text{in}\Omega\结束{align*}（此处$v_{p}=S'（q）（p）$)

他们引用了[2]。不幸的是，在[2]中，Thm。5.16. 作者不处理混合术语，比如$-q\cdot u$。他们只考虑以下类型的问题：\开始{align*}\partial_t u-\增量u+d（x，t，u）&=q\text{in}\Omega_t\\[6pt]\partial_n u&=0\text{in}\Sigma_T\\[6pt]u（0）&=u_0\text{in}\Omega\结束{align*}这就是为什么这不直接适用的原因。此外，BVP的形式与Thm的结果不匹配。5.16. 所以我有一种感觉，好像用了别的东西。我将非常感谢任何帮助或Ansatz来处理这件事。

提前谢谢！

参考

[1] Malte Braack，Martin F.Quaas，Benjamin Tews，Boris Vexler，“作为非凸最优控制问题的空间和时间捕鱼策略优化”，（英语）优化理论与应用杂志178，第3期，950-972（2018），内政部：10.1007/s10957-018-1304-7,3836262奈米,Zbl 1409.49018号.

[2] F.Troeltzsch。Optimale Steuerung parteller Differentialgleichungen公司。视图-特布纳，2009年第2版

Answer 1

这是一个抽象最优控制理论的简短速成课程，参见[HPUU]。

将原始PDE编写为$e（u，q）=0$在适当的功能空间中。你有一个解决方案/控制到状态的操作员$S\冒号q\mapsto u$这样的话$e（S（q），q）=0$对所有人来说q美元$其导数由（隐函数定理）给出$$S'（q）p=-e_u（S（q），q）^{-1}e_q（S（q.，q）p$$哪里$e_u（\点）^{-1}$对应于线性化方程的解算子，其微分算子对应于OP中第二方程的左手边。

为了确定美元“（q）[p，p]$，好吧，你做了一件令人不快的事情，并对前面的表达式进行了区分S'（q）美元$再次。这应该给你$v_p=S'（q）p$和$y=（S（q），q）$,$$S“（q）[p，p]=-e_u（y）^{-1}\Bigl[e_{uu}（y）[v_p，v_p]+e_{u}（y）[p、v_p]+e_{qu}（y-）[v-p，p]+e_{qq}（y][p，p]\Bigr]$$使用逆函数的导数$f（A）=A^{-1}$运算符的$f'（A）H=-A^{-1}透明质酸^{-1}$.

现在对于特定的PDE，$e_{qq}=0$、和$e_{uq}（y）[p，v_p]=e_{qu}（y）[v_p，p]=pv_p$二阶导数的对称性$e_{uu}（y）[v_p，v_p]=2v_p^2$.因此$$S“”（q）[p，p]=e_u（y）^{-1}\bigl[-2v_p^2-2v_pp\bigr]$$也就是说，美元“（q）[p，p]$由右侧线性化状态方程的解给出$$-2v_p^2-2v_p p=-2v_p（v_p+p）$$如权利要求所述。

注意，灵敏度方程的初始值定义了S'（q）p美元$变为零是因为在原始问题的初始值中没有控制。然而，尽管上面的计算给出了正确的术语，但在定义美元$及其导数的计算（因为在形式上美元$，并且没有函数空间……），但这是可以做到的。

[高压单元]Hinze，M。；皮诺，R。；乌尔布里希，M。；乌尔布里奇，S。,基于PDE约束的优化《数学建模：理论与应用》23。多德雷赫特：施普林格十一世，270页。(2009).ZBL1167.49001号.