$A_{2l}$的扭曲仿射代数与其他类型仿射代数差异的原因

Question

我正在读关于Kac–Moody代数的文章。我有一个关于扭曲仿射代数的构造的问题。

让美元\西格玛$是简单李代数的图自同构$\mathfrak{g}$.

什么时候？$\mathfrak{g}=（A_{2l}，2）$,$（A_{2l-1}，2）$,$（D_{l+1}，2）$,$（E_{6}，2）$或$（D_4,3）$，固定点$\mathfrak美元{g} _0（0）\子字节\mathfrak｛g｝$属于美元\西格玛$也是一个简单代数，具有以下类型B_l美元$,C_l美元$,B_l美元$,F_4美元$或G_2美元$分别是。$2,2,2,2,3$表示对应的顺序美元\西格玛$作为自同构。

但什么时候$\mathfrak｛g｝=A_｛2l｝$，的简单根源$\mathfrak美元{g} _0（0）$被编入索引$\{0,1，\dotsc，l-1\}$.

什么时候？$\mathfrak{g}=A_{2l-1}$,$D_{l+1}$,E_6美元$,D_4美元$，的简单根$\mathfrak美元{g} _0（0）$被编入索引$\{1，\dotsc，l\}$,$\{1，\dotsc，l\}$,$\{1,2,3,4\}$,$\{1,2\}$分别是。

在构造扭曲仿射代数时，我们需要添加一个额外的点。对于$A_{2l}$，额外的点由索引1美元$。对于其他类型，额外的点由索引$0$.

我想知道这是什么内在原因导致了$A_{2l}$和其他类型？

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对问题的新解释

它来自Kac的“无限维李代数“还有来自Kac–Moody李代数简介对于扭曲仿射代数。

我们知道我们有仿射类型$A^{（2）}_{2l}$,$A^{（2）}_{2l-1}$,$D^{（2）}_{l+1}$,$E^{（2）}_{6}$和$D^{（4）}_{3}$，我们想要构造相应的Kac–Moody代数。

在Kac的书和上面的讲座中，我们应该首先使用图自同构来得到相应的不动点子代数$\mathfrak美元{g} _0（0）$.

例如，当$\mathfrak{g}=A_{2l}$，不动点子代数$\mathfrak美元{g} _0（0）$是简单李代数B_l美元$我们有简单根$\{\alpha_0，\dotsc，\alpha_{l-1}\}$，发电机$e_i，f_i$($0\le i\le l-1美元$)和Cartan子代数$\mathfrak美元{h} _0（0）$.

什么时候？$\mathfrak{g}=A_{2l-1}$，不动点子代数$\mathfrak美元{g} _0（0）$是简单李代数C_l美元$我们有简单根$\{\alpha_1，\dotsc，\alpha_{l}\}$和$e_i，f_i$(1美元我$)和Cartan子代数$\mathfrak美元{h} _0（0）$.

让$\hat{\mathcal{L}}\left（\mathfrak{g}\right）=\left$带Lie支架$$\left[t^a\otimesx+\lambdac+\mud，t^b\otimes y+\lampda{\prime}c+\mo\primed\right]=\ left[x，y\right]\ otimest^{a+b}+\muy\otimmesbt^b-\mu^{\prime}x\ otimes位于^a+a\delta_{a，-b}\ left（x，y\ right）c$$

在构建$A^｛（2）｝_｛2l｝$和$A^{（2）}_{2l-1}$,$D^{（2）}_{l+1}$,$E^{（2）}_{6}$,$D^{（3）}_{4}$在卡克的书和上述讲座中，他们写道$A^{（2）}_{2l}$在一个箱子里放$A^{（2）}_{2l-1}$,$D^{（2）}_{l+1}$,$E^{（2）}_{6}$和$D^{（3）}_{4}$在另一种情况下。

我们考虑$\hat{\mathcal{L}\left（\mathfrak{g}\右侧）$在扩展自同构下美元\西格玛$根据公式$\sigma\left（t^a\otimesx+\lambdac+\mud\right）=\frac{1}{\xi^a} t^a\otimes\sigma\left（x\right）+\lambda c+\mud$哪里$\xi美元=e^{\压裂{i2\pi}{m}}$和百万美元$是的顺序美元\西格玛$.

例如，当$\mathfrak{g}=A_{2l-1}$，我们可以$E_i=1\时间电子墨水$和$f_i=1个f_i（1个）$和$E_0=注释E_0$,$F_0=t^{-1}\otimes F_0$哪里$e_0\在e_{\theta}中$和$f_0\英寸>E_{{-\theta}}$($\θ$是的最高根C_l美元$).

什么时候？$\mathfrak｛g｝=A_｛2l｝$，我们可以$E_i=1\otimes E_i$和$f_i=1\otimes f_i（0\le i\le l-1）$和$E_l=t\otimes E_l$,$F_l=t^{-1}\otimes F_l$哪里e_{theta}中的$e_l$和$f_l\英寸>E_{{-\theta}}$($\θ$是的最高根B_l美元$).

如果我们简单地看一下Dynkin图，我们就得到了$A^{（2）}_{2l-1}$:

对于$A^{（2）}_{2l}$，我们有

现在我想知道为什么在标签的结构和顺序上$A^{（2）}_{2l}$和$A^{（2）}_{2l-1}$,$D^{（2）}_{l+1}$,$E^{（2）}_{6}$,$D^{（3）}_{4}$?

我认为这只是数字顺序的问题，我们可以重新编号制造$A^{（2）}_{2l}$和$A^{（2）}_{2l-1}$,$D^{（2）}_{l+1}$,$E^｛（2）｝_｛6｝$,$D^{（3）}_{4}$重合。这是真的吗？

非常感谢您的帮助和参考。

Answer 1

让$\mathfrak{g}$是具有Dynkin图类型的有限维简单李代数X美元$.让美元\西格玛$是的图自同构X美元$订单的千美元$然后是仿射Dynkin图类型$X^{（k）}$有一个“可分辨节点”，因此删除它后，剩下的是不动点子代数的Dynkin图$\mathfrak美元{g} _0（0）$（这表示节点的特征，直至图自同构。）

Kac使用的仿射李代数单根的标记是唯一的，因此$\字母_0$是Langlands对偶Dynkin图的区别节点。换句话说，反转仿射Dynkin图中的所有箭头后，$\字母_0$标记结果图的可分辨节点。

值得注意的是，卡克的传统早在文学作品中就出现了无限维李代数已写入。使用它的早期参考是

维克多·G·卡克（Victor G.Kac）。；Dale H.Peterson。,无穷维李代数、θ函数和模形式，高级数学。53, 125-264 (1984).ZBL0584.17007号.

这似乎是卡克约定的主要优点：这篇文章和这本书都使用了原始想象根这一事实美元\ delta$与跨越的有限根系的最高根不同$\alpha_1、\ldot、\alpha_l$乘以的倍数$\字母_0$。这对于Kac的标签来说是正确的，但对于“$\字母_0=$区分节点的标记。然而，正如你所注意到的，Kac的标记通过自同构使扭曲仿射李代数的通常构造复杂化。最终，你可以做出选择。

编辑：以下是一个示例，指示区分的节点和Kac标记的节点之间的差异$\字母_0$。每个图中的区别节点用红色表示。左侧和右侧由兰兰兹对偶关系。从左边的图开始，确定Kac将标记哪个节点$\字母_0$，我们看看右边的图中区分了哪个节点。左边对应的节点是$\字母_0$.