关于双曲群的陈述$\伽马射线$为true，如果$\伽马射线$无扭转。这源于特殊的双曲（和相对）双曲群中的元素。
在无扭转情况下，元件$\gamma\in\gamma\setminus\｛1\｝$是特殊的，如果$\langle\gamma\rangle$是的最大循环子群$\伽马射线$（相当于，如果$\伽马$不是另一个元素的适当力量）。由于$\伽马射线$（作为$\伽马射线$是无扭转双曲线）包含在最大无限循环子群中，我们可以假设该元素$\伽马$从问题是特殊的（如果不是，用它的最大根替换它）。现在，因为$克$不与通勤$\伽马$，我们知道$g\notin\langle\gamma范围$，从那里我们可以应用引理3.6[米纳西安，A。；Osin，D。,相对双曲群的正规自同构。，事务处理。美国数学。Soc.362，No.11，6079-6103（2010）。ZBL1227.2004年11月.]对一些人来说$N\in\mathbb N$元素$克\gamma ^n$只要是特别的$|n|\ge n$.因此$克\gamma ^n$在$\伽马射线$什么时候$|n|\ge n$.
这表明只能有有限多个整数亿美元$从问题开始。从这里很容易得出结论，对于给定的n美元$只能有有限的$小时$和百万美元$因为在无挠双曲群中，每个元素只有有限多个根。
如果$\伽马射线$不是无扭转的，那么至少必须要求E中的$g\notin（\gamma）$，其中$E（\gamma）$是的最大虚循环子群$\伽马射线$包含$\伽马$（另外，我们在注释中有类似二面体群的示例）。在这种情况下，类似的论点可能会起作用，但肯定会更具技术性。
答案是否定的$等值线（X）$，其中X美元$通常是一个Gromov双曲度量空间。事实上，考虑一下免费产品$\伽马=A*B$，其中美元$有一个非平凡的元素$a\单位：a$这样的话美元$允许无限多根美元$（例如。，美元$属于的副本$\mathbb{Q}$里面美元$).
然后$\伽马射线$忠实地在Bass-Serre树上表演X美元$与自由产物分解相关，因此$\Gamma\hookrightarrow等轴测图（X）$.选择任何非普通元素$b\单位：b$并设置$\gamma=ba\in\gamma$和$g=b^{-1}\在\伽马中$。请注意$\伽马$是双曲线等距X美元$和$\伽马$不与通勤$克$.通过施工，$g\伽玛=a$在中有无穷多个根$\伽马射线$，因此原始问题的属性失败。
我认为，要想在这种情况下得到肯定的答案，必须要求$\伽马射线$在X美元$至少是正确的（但为了避免扭转问题，可能需要更多）。
