回答。是的，对于适当的边界条件（例如Dirichlet或Neumann），边界足够光滑的有界域上的Laplace算子没有正的本征函数，除了那些属于前导本征值的本征值。
以下是详细信息：
第0部分。符号。
考虑一个美元L^p$-a上的空格美元\西格玛$-有限测度空间。对于的元素$f美元$的L^p美元$-超过的空间美元\西格玛$-有限测度空间，其中$p\in[1，\infty）$，我将使用符号$f\ge 0美元$意思是$f（\omega）\ge 0$几乎所有$\欧米茄$.我将使用符号$f\gg 0美元$意思是$f（\omega）>0$几乎所有$\欧米茄$（有些人使用符号$f>0$因此，但从秩序理论的角度来看，这种符号有点不幸）。
第1部分。运算符的Perron-Frobenius（或Krein-Rutman）类型结果，可“提高”函数的积极性：
定理。让$（\欧米茄，\亩）$成为美元\西格玛$-有限测度空间与let$p\in[1，\infty）$并假设$L^p（\Omega，\mu）$非零。让$T:L^p（\Omega，\mu）到L^p$是一个紧线性算子，具有以下性质：对于非零$0\le f\单位L^p（\Omega，\mu）$一个有$Tf\gg 0美元$.
那么光谱半径osT美元$满足$r（T）>0$，它是具有特征向量的特征值$u\gg 0$，它是T美元$它有一个特征向量$v\ge 0美元$.
证明。事实上$r（T）>0$是Ben de Pagter定理的一个特例；见德帕格特1986年论文的主要结果”不可约紧算子".事实上$r（吨）$是具有特征向量的特征值$u\ge 0$是经典的Krein-Rutman定理。事实上$u美元$实际上满足了$u\gg 0$是积极改善假设的直接结果T美元$.事实上$r（吨）$是的唯一特征值T美元$具有特征向量$v\第0页$例如，可以在赫尔穆特·谢弗（Helmut H.Schaefer）1974年的书中的定理V.5.2（iv）及其推论（均在第329页）中找到”Banach格与正算子".美元\平方$
第2部分。应用于具有局部边界条件的拉普拉斯算子。
考虑一个有界域$\欧米茄$在里面$\mathbb{R}^d$并假设$\欧米茄$足够光滑，以确保具有我们在下面考虑的边界条件的拉普拉斯算子具有紧预解式。
让$\增量：L^2（\Omega）\supseteq\operatorname{dom}（\Delta）\到L^2$表示拉普拉斯算子，其中域$\operatorname{dom}（\Delta）$对边界条件进行编码。我们假设边界条件是经典的选择之一，例如Dirichlet或Neumann或混合边界条件。然后我们得到以下结果：
推论。如果美元\lambda$是的特征值美元\ Delta$具有特征函数$u\ge 0$，然后$\λ$是的主要特征值美元\ Delta$.
证明。让$\mu\in\mathbb{R}$是一个严格大于最大特征值的数字美元\ Delta$.然后是预解算子$（\mu I-\Delta）^｛-1｝：L^2（\Omega）\到L^2（\Omega）$满足操作员的假设T美元$在第一部分的定理中。此外，预解式的谱映射定理告诉我们，映射$z\mapsto\frac{1}{\mu-z}$映射的特征值美元\ Delta$ $1$-至-$1$到的特征值$（\mu I-\Delta）^｛-1｝$从而保留了特征向量。特别地，$\压裂{1}{\mu-\lambda_0}$是的光谱半径$（\mu I-\Delta）^{-1}$.因此，根据第一部分中的定理，这个主张如下。美元\平方$
第3部分。进一步备注。
同样的参数也适用于带系数和低阶项的椭圆算子。
对于具有紧预解式的自共轭算子（如具有Dirchlet或Neumann或混合边界条件的Laplace算子），有一个更简单的论点，在克里斯蒂安·雷姆林的回答.上述论点的一个优点是，它也适用于非自伴算子，例如，通过考虑具有低阶项的二阶算子。
对于具有非局部边界条件的拉普拉斯算子，同样的结果不再成立。例如，考虑一维域$\Omega=（0,1）$和带边界条件的拉普拉斯算子$u'（1）=\mathrm{e}u'（0）$然后是常量函数$1$是特征值的特征向量$0$.但是$1$也是一个特征值（$\exp美元$作为特征函数）。
在这种情况下，第一部分定理中的紧致性假设可以$p=2$，替换为自交假设；见2015年论文中的定理2.2“关于热核大时间行为基本特征的注记“作者：Keller、Lenz、Vogt和Wojciechowski。
（可以将此引用应用于美元-吨$获得自共轭非紧的上述定理T美元$然而，这实际上有点迂回，因为此引用中的结果本身就是为了处理无界运算符而设计的。）
