对称积的泛覆盖

Question

让C美元$是一个一维复数流形，其泛覆盖由半平面提供$\mathcal{H}=\{z\in\mathbb{C}\mid\operatorname{进出口}z>0\}$.对称产品$C^{（n）}=C^n/S_n$是一个复杂的流形。我的问题是：加元^｛（n）｝$由提供$\mathcal{H}^{（n）}$? 或者是不同的商$\mathcal{H}^n$?

Answer 1

事实上$C^{（n）}$不会的$\mathcal H^n$一旦$n\gg 0美元$的确，如果C美元$是亏格的紧致黎曼曲面$g\geq 2美元$（所以通用盖是$\mathcal H公司$)有一个基点x美元$，则Riemann–Roch定理意味着映射\开始{align*}C^｛（n）｝&\ to \运算符名称{日语}_C=\operatorname{Pic}^0_C\\（x_1，\ldots，x_n）和\mapsto[x_1+\ldots+x_n-nx]\结束{align*}是一个$\mathbf P^{n-g}$-捆绑，如果$n>2g-2$（参见例如[CS86，第七章，5.6（c）]）。所以通用封面$C^{（n）}$是一个$\mathbf P^{n-g}$-捆绑在一起$\mathbf C^g$，距离$\数学H^n$（例如，它不是小林寺双曲线，因为$C^{（n）}$不是Brody双曲线）。

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参考文献。

[CS86]G.Cornell，J.H.Silverman（编辑），算术几何Springer-Verlag，1986年。ZBL0596.00007号.