Berry-Esseen定理中的改进界

Question

中心极限定理的Berry-Esseen方法的一个结果如下所述。设$X_1，\ldots，X_n$是实值随机变量，它们都是独立的，其中${\mathbb E}（X_i）=0$，${\mathbb E{（X_ i^2）=\sigma_i^2$对于[n]$中的所有$i\和[n]}\sigma_i^2=1$中的$\sum_{i\，它满足$|X_i|\leq-c$。在[n]}X_i$中设置$S_n=\sum_{i\。那么对于所有$t\in{mathbbR}$，我们都有\开始{方程式*}{mathbb P}（S_n\leqt）={mathbbP}，\结束{方程式*}其中${\cal Z}$是标准正态随机变量。我的问题很简单，如果我们另外知道${\mathbb E}（X_i^3）=0$对于所有$i\in[n]$，这个界限是否可以改进？直觉上，这似乎可以改进为\开始{方程式*}{mathbb P}（S_n\leqt）={mathbbP}。\结束{方程式*}感谢您的帮助/推荐。谢谢！

Answer 1

考虑$X_i$，它很可能是$n^{-1/2}$或$-n^{-1/2}$。

这些变量在矩方面基本上是您所希望的：奇数矩都等于$0$，而给定方差，$E（|X_i|^k）$尽可能小。

然而，通常的Berry-Esseen不等式对它们来说是尖锐的常数（$S_n$具有对应于单个值的跳跃，其概率与$n^{-1/2}$成正比，而$\mathcal{Z}$是连续的）。

这表明，总的来说，小时刻本身并不足以改善贝里·埃辛。

Answer 2

如果随机变量具有密度，且三阶矩为零，则（假设四阶矩是有限的）Berry-Esseen定理适用于速率1美元/个$，请参见示例

S.Johnston-一个快速Berry-Esseen定理（arXiv预印本）.

编辑：这种形式的结果（通常以埃奇沃斯式展开形式给出）在文献中是众所周知的。例如，见Osipov定理，定理5.18

瓦伦丁五世·彼得罗夫。，限制概率论的定理。独立随机序列变量，牛津概率研究。4.牛津：克拉伦登出版社。ix，292 p.（1995）。ZBL0826.60001号.

定理5.18涉及一个界限，该界限仅在随机变量的特征函数的模有界于$1$在$\mathbb{R}-[-\delta，\delta]$当随机变量具有密度时，此界限有效。