边着色平面图

Question

假设一个没有循环或多条边的无向图是n美元$-有色的如果它的边缘用数字标记$\{1，\ldot，n\}$以便相邻边具有不同的标签。

定理[阿隆·马绍尔]对于所有人n美元$，有一个n美元$-彩色图形$G_n$最多50万美元^4$每个平面 n美元$-彩色图形G美元$有一个颜色保护态射$G\到G_n$.

问题文献中是否有类似的说法平的图？

图表是平的如果它可以以这样一种方式嵌入到3空间中，即每个循环都限定一个与图的其余部分不相交的磁盘。

Answer 1

如你引用的Alon-Marshall论文所示，类似的语句适用于任何一类有界图非循环色数（事实上，他们对平面图的结果只依赖于这样一个事实，即每个平面图至多都有非循环色数$5$).

更准确地说，那篇论文中的定理2.3指出千美元$每n美元$，存在一个图形$G_n$最多在上$k个^{k-1}$顶点，其边的颜色由$1，\dotsc，n美元$，使得对于每个图H美元$在n美元$顶点，最多具有非循环色数千美元$，并使用$1，\dotsc，n美元$; 将同态映射到$G_n$.

因此，如果我们能够证明平面图类至多具有非循环色数，那么我们将得到平面图的类似结果千美元$，对于某些整数$k\geq 0美元$.通过使用内什埃特·伊尔和奥斯纳·德门德斯的论点，我们可以证明这一点一些未指定值千美元$如上所述。论点如下：

1. 平面图类等价于无链接嵌入图类。所有这些图最多都有色数$5$（请参见https://en.wikipedia.org/wiki/Hadwiger_conjustructure_%28graph_theory%29#Special_cases_and_partial_results详细信息）。
2. Nešetřil和Ossona de Mendez（见他们论文中的定理1.1）认为任何图的非循环色数G美元$从上方以f（r）美元$，其中美元$是所有子项的最大色数H美元$属于G美元$、和$f美元$一些功能。
3. 结合这两个事实，我们得出结论$k=f（5）$是这样的，任何平面图至多都有非循环色数吗千美元$.

我还没有检查功能$f美元$在本文中是明确的，但这将为您提供一个具体的值千美元$如果你碰巧得到了平面图的非循环色数的界，你也可以避免这个问题，我也没有检查过是否存在这样的界。

雅罗斯拉夫·内舍特伊尔；帕特丽斯·奥斯纳·德门德斯，次闭类的染色和同态，Aronov，Boris（ed.）等人，离散和计算几何。古德曼-波拉克节日。柏林：施普林格出版社（ISBN 3-540-00371-1/hbk）。算法梳理。25, 651-664 (2003).ZBL1071.05526号.