傅里叶级数收敛的充分条件综述

Question

我想总结一下傅立叶级数的各种收敛模式的各种充分条件。以下是我迄今为止收集到的信息：

1. 美元L^p$汇聚：

• 如果L^p中的$f\（\mathbb{T}）$对一些人来说$1<p<infty美元$，则其傅里叶级数收敛于L^p美元$到$f美元$

2. 几乎处处收敛：

• 如果L^p中的$f\（\mathbb{T}）$对一些人来说$p>1$，则其傅里叶级数几乎处处收敛到$f美元$(Carleson-Hunt定理)

3. 点式收敛：

• 如果$f美元$有界变化，则其傅里叶级数逐点收敛到$\压裂{1}{2}[f（x+）+f（x-）]$每$x\in\mathbb{T}$

4. 一致收敛：

• 如果$f美元$具有有界变化且连续，则其傅里叶级数一致收敛于$f美元$
• 如果$f美元$是$\阿尔法$-订单持有者连续$\alpha>0$，则其傅里叶级数一致收敛于$f美元$

5. 绝对收敛：

• 如果$f美元$是绝对连续的L^p中的$f'\（\mathbb{T}）$对一些人来说$p>1$，则其傅立叶级数绝对一致地收敛到$f美元$
• 如果$f美元$具有有界变化$\阿尔法$-订单持有者连续$\alpha>0$，则其傅里叶级数绝对一致收敛于$f美元$
• 如果$f美元$是$\阿尔法$-订单持有者连续$\alpha>1/2$，则其傅里叶级数绝对一致收敛于$f美元$

备注：一致收敛的傅里叶级数可能不会绝对收敛。事实上，存在一个绝对连续函数，其傅立叶级数不能绝对收敛。

问题：

1. 我有没有错报任何充分条件？
2. 是否有足够的条件添加到上述列表中？
3. 关于$L^1美元$-收敛、概率收敛和弱收敛？

Answer 1

考虑以下由泰勒级数表示的分析函数$$F（z；α，c）=∑_{n=1}^\infty\分形{e^{icn\！\log\！n}}{n^{alpha+\分形{1}{2}}z^n$$ 定理.对于$\alpha，c>0$，函数$F（z；\alpha，c）$在开放式装置圆盘上进行分析$|z|<1$并且在闭合单元圆盘上连续$|z|\le 1个$。定义函数的级数绝对收敛于$\alpha>{1\over 2}$但不是为了$0<\alpha\le{1\over 2}$.

这个定理的证明可以在A.Zygmund的三角级数专著的第一卷中找到(三角级数，第二版，第一卷和第二卷合并，剑桥数学图书馆，MR0933759,Zbl 0628.42001号第197-222页）。