没有已知组合证明的组合结果

Question

斯坦利喜欢保留一个没有已知组合证明的组合结果列表。例如，直到最近，我仍然相信德布鲁金序列属于这一类（但现在看arXiv：0910.3442v1). 许多单模态结果也属于这一类。你知道其他这类结果吗，尤其是那些看起来令人沮丧的结果，它们应该有简单的组合证明？

就这个问题而言，“组合结果”应该解释为某种精确的枚举，而“组合证明”应该或多或少地解释为“双射证明”。（例如，我对拉姆齐数的边界不感兴趣。）

Answer 1

这并不是一个确切的答案，但由于这是一个社区维基，我希望如果我给这个问题添加一个转折点的话，这符合事情的精神。

优秀者的优秀之处之一物种理论它的核心是自然双射证明的概念。让我简述一下基本思想。A类物种只是范畴中的函子$$\mathcal{B}=（\mbox{有限集}+\mbox}双投影}）$$集合的类别。有人认为物种是用一些额外的组合结构装饰有限集的一种方式。例如，有一个物种L美元$由定义$$L（X）=}X\}上的线性次序$$对于有限集X美元$（并以明显的方式对形态进行了定义）。因此美元（X）$是一套“装饰”的方法X美元$具有线性顺序。或者，还有另一个物种P美元$由定义$$P（X）={\mbox{}X\}上的置换$$对于有限集X美元$（并在态射上以显而易见的方式定义）。

你可以把物种看作分类的生成函数。更确切地说，对于任何物种美元$是有限的（取值为有限的，有限的集合），可以形成其指数生成函数$\sum_n s_n x^n/n$，其中s_n美元$是的基数美元（X）$对于任何n美元$-元素集X美元$。从物种传递到其生成函数（去范畴化）时，会丢失一些信息。稍后我将给出一个非平凡的例子。

物种的同构有一个明显的概念，即函子的自然同构。是物种吗L美元$和P美元$在同构之上？我们有$L（X）\cong P（X）$为所有人X美元$，由于n美元$-元素集允许两者$n$线性订单和$n$排列。但你可以证明没有自然的同构美元\cong P$.所以不,L美元$和P美元$不是同构的。直觉是这样的：为了匹配排列和顺序，你必须选择一个顺序来对应身份排列；但是抽象有限集没有标准的线性次序，所以你必须随机选择。因此没有规范的他们之间的通信。

特别是，这意味着具有相同生成函数的物种($\sum_n n！x^n/n！=1/（1-x）$，这里）不需要同构。因此，传递给生成函数可能会丢失信息。

寓意：“双射证明”的一个概念是“物种同构的存在”。正如排列/顺序示例所示，这是一个非常苛刻的概念。人们可以考虑编制一份所有具有相同生成功能但不同构的物种对的列表。这个列表可以与斯坦利的列表进行比较。

Answer 2

这是枚举组合学中一个非常常见的主题。你可以在谷歌搜索中找到很多“无主观证据”（带引号）的例子。

首先，我可以谈谈为什么你会关心双射证明。组合物种当然是一个很好的理论，但它们是一个与生成函数相关的相当具体和复杂的答案。一个更普遍的原因是，双射证明将组合数学中的等式归类为集合范畴。换句话说，它促进了平等$|A|=|B|$同构$A\cong B$在我看来，找到任何其他的分类都同样重要，例如向量空间的分类。不用用双射表示两个集合的大小相同，而是用可逆矩阵表示它们的大小相同。

其次，在众多例子中，我可以说出我遇到的一个。这个例子很有趣，因为所讨论的对象看起来非常相似。回想一下交替符号矩阵是一个矩阵，其每行和每列中的非零项在$1$和$-1$，这样每行和每列中的第一个和最后一个非零条目为$1$一个有趣的子类是顺序ASM2亿美元+1$它们围绕一条垂直线对称。另一个有趣的子类是顺序ASM20亿美元$它们是对角对称的，对角线上有0。（两种相反奇偶性的ASM都不存在。）第一类是由大卫·罗宾斯发现的，我发现了第二类。我在第一类中证明了David的产品公式，在第二类中建立了相同的产品公式。因此，这两类ASM是等式的，但没有令人惊讶的证据。

---

这是另一个同样有趣的例子。循环对称自互补平面分区（CSSCPP）等价于正六边形的平铺20亿美元$单位菱形，在60度旋转下保持不变。这里的单位菱形是两个单位等边三角形粘在一起。除了完全二面体对称外，完全对称的自互补平面分区（TSSCPP）是一样的。（我确定了尺寸，因为在其他情况下，没有任何具有强加对称性的平面分区。）这两类的公式也是由大卫·罗宾斯推测出来的；乔治·安德鲁斯（George Andrews）为TSSCPPs证明了他的猜想，而我为CSSCPPs验证了这个猜想。特别是，固定大小的CSSCPP数是TSSCPP数的平方，但没有人知道一个好的双射。

大卫·罗宾斯（David Robbins）发现的最引人注目的一件事是，TSSCPP（完全对称的平面分区）的数量等于没有强制对称的ASM的数量。对此也没有明确的证据。从积极的方面来看，Doron Zeilberger对ASM猜想的证明以及他后来关于改进ASM的论文可能是朝着一个方向迈出的一步，因为它们等同于某些推广和改进枚举。然而，交替符号矩阵看起来与平面划分完全不同。在我看来，最令人沮丧的情况是当我们甚至无法匹配时。

Answer 3

警告：此习惯于这是一个很好的例子，但恐怕它不再是了。

让H（n）美元$是平面上水平凸多面体的数量，其中“水平凸”的含义正如你所想，等价性取决于平移（因此镜像和旋转被认为是不同的）。使用一系列具有两个变量生成函数和惊人数量的抵消的操作，人们会发现

$H（n）=5H（n-1）-7H（n-2）+4H（n-3）$.

我在1991年从Gil Kalai那里学到了这一点（结果要古老得多），我很确定有一段时间没有已知的组合证据证明这个令人惊讶的结果。然而最近迪安·希克森找到一个我相信迪恩认为这看起来很令人沮丧，应该有一个组合证明，然后他开始用唯一可能的方法来解决这个问题。

Answer 4

例如，根据斯坦利的身份$n\cdot\text{pp}（n）=\sum_{i=1}^{n}\sigma_2（i）\text{pp}（n-i）$没有已知的直观证据，其中$\text{pp}（n）$表示平面隔板属于n美元$.

Answer 5

n个顶点上的自补图的（同构类）个数是n个顶点上边数为奇数的图个数与边数为偶数的图的个数之差。

这相对容易用计数参数证明，但我想有一个组合证明。。。

Answer 6

这本书真正重要的证据：组合证明的艺术由Art Benjamin和Jenny Quinn编写的，包含了大量的组合恒等式，但没有已知的组合证明。（见大多数章节的末尾。）正如副标题所示，对于那些对组合证明技术感兴趣的人来说，这也是一个很好的参考。

Answer 7

这个Graham-Pollak定理说明不相交地覆盖上的完整图的边集所需的完整二部图的最小数目n个顶点是n个-1.已知的唯一证明都使用线性代数，据我所知，没有纯粹的计数证明。艾格纳和齐格勒的书中有一章是关于这一点的书中的校对.

Answer 8

我喜欢的一个结果是，长度为2n、矩阵为180°对称的321个无效置换的数目是（2n选择n）。我所知道的最好的证据相当简短，但我不会称之为主观臆断：

在罗宾森·申斯特德对应地，180°对称排列正是映射到自计算表的有序对的排列，而自计算表又是与相同形状的domino表有序对的双射。（请参见干布里奇)现在，如果你看2n大小的2行多米诺骨牌（因为我们的排列必须是321-avoiding），有n+1个费雷尔斯形状，它们可以由2n-2大小的形状组成，以满足帕斯卡三角形的关系，因此，所有2行费勒形状的多米诺表数量平方的总和是二项式系数平方的总和（2n选择i），得出（2n选n）。

我试图将这些步骤“分解”为一个简单的双射，但没有任何改变。不过，这似乎是其他人可能能够解决的问题。

Answer 9

以下陈述似乎没有明确的组合证明（或者至少在2003年我听说它时没有）：

表示方式L（n）美元$将n的所有分区集分成不同的部分，其中最小的部分是奇数。让L_o（n）美元$,$L_e（n）$是的子集L（n）美元$由分别分成奇数和偶数部分的分区组成。然后$|L_o（n）|-|L_e（n）|$是$0$如果n美元$不是一个完美的正方形$（-1）^n$如果n美元$是一个完美的正方形。

Answer 10

在两个小偷之间劈开项链的问题：

两个小偷想要平均分享项链上的石头（一个开放的圆圈）。
项链上有%s美元$石头的类型（每种石头出现的时间都是偶数。）。

他们想尽量减少削减数量（链接成本高昂，他们不想把它搞得一团糟）。
表明始终可以使用%s美元$削减。

解决：

对于美元=2$组合解并不太难。

对于任何%s美元$，存在一个拓扑/线性代数证明（Jiri Matousek在下面的参考文献中给出了一个很好的解释）

https://www.amazon.com/Using-Borsuk-Ulam-Theorem-Combinatorics-Universitext/dp/3540003622

虽然现在似乎有了一个组合证明。
自动变速箱：

帕尔沃格伊、德莫特奥,组合项链拆分，电子。J.库姆。16，第1号，研究论文R79，第8页（2009年）。内政部：10.37236/168,eudml公司.ZBL1186.05017号,MR2529788型.

然而，我认为这可能是一个暂时没有组合证明的问题。

Answer 11

自由群的Atiyah猜想。彼得·林内尔（Peter Linnel）已经用一些算子代数技术证明了这一点，但在我看来，这种说法最终是组合的。

例如，作为一个重要的特例，存在分析0-除数猜想：设T是$l^2$-范数至多为1的自由群的复群环的自伴随元素。考虑复数序列$t_n$：$t_n$$是群环元素$（1-t）^n$的中性元素的系数（因此这是一个组合问题）

解析0因子猜想的公式之一是以下定理。

定理(P.Linnel公司)：如果T不为0，则序列$tn$的极限为0。

对于阿提亚猜想已知的许多其他群体来说，情况也是如此。例如，初等顺从群（再次是Linnel）的证明使用了深K理论，但不可否认的是，这种深K理论可能是用组合学证明的。

Answer 12

目前，一些“积极的结果”只能通过使用重型几何机械来证明。最突出的是Kazhdan-Lusztig多项式系数的正性（在Weyl群的情况下）。