让$V\子集L^2（\mathbb｛R｝）$是支持的功能空间E美元$、和美元（W）$支持傅立叶变换的函数空间$F（美元）$（抱歉，这个符号与Jason的提示不同。）注意，两个子空间都是封闭的。使用A-B定理证明$V\cap W=0$，这很容易，而且V+W美元$关闭，这有点困难。后者的一种方法是：V+W美元$可以唯一写入为$f+g$哪里$f\单位：V$,$g\单位：W$.然后V+W美元$如果操作员关闭$f+g\映射到f$和$f+g\mapsto克$是有界的，因为那时地图$f+g\mapsto（f，g）$是的同构V+W美元$具有$V\oplus W$.
为了说明后者，我们可以使用A-B定理来写$f\单位：V$,$g\单位：W$,$$\需要{cancel}\开始{align*}\|f\|_{L^2（\mathbb{R}）}和\le C（\cancel{\|f\|_{L^1（E^C）}}+\|\mathcal{f}（f）\|_\\&=C\|\mathcal{F}（F+g）\|_{L^2（F^C）}&&\text{since$\mathcal{F} 克=$F^c$}上的0$\\&\leC\|mathcal{F}（F+g）\|_{L^2（\mathbb{R}）}\\&=C\|f+g\|_{L^2（\mathbb{R}）}&&\text{Plancherel}。\结束{align*}$$
所以地图$f+g\映射到f$是有界的，类似的参数适用于$f+g\mapsto克$.
既然V+W美元$是闭合的，考虑正交投影$P_V小时=1_E\c小时$和$P_W h=\数学{F}^{-1}（1_F\cdot\mathcal{F} 小时)$.根据下面的引理，取$f=g_1\单位V$和$g=\mathcal{F}^{-1}g_2$，我们可以找到$小时$这样的话$P_V h=f$也就是说$h=g_1$在E美元$、和$P_W h=g$也就是说$\mathcal美元{F} 小时=g_2$在$F（美元）$.
引理。假设V美元，W美元$是希尔伯特空间的两个闭子空间H美元$具有$V\cap W=0$和V+W美元$关闭。那么对于每个$f\单位：V$,$g\单位：W$，存在唯一的V+W中的$h\$具有$P_V h=f$和$P_W h=g$.
我没有这方面的参考文献，所以这里有一个基于[1]观点的证据。
这个想法是，如果我们想$（P_V+P_W）h=f+g$，其中$h=v+w$具有$v\单位为v$,$w\单位：w$，那么我们必须$$\开始{align*}v+P_v w&=f\\w+P_w v&=g.\结束{align**}$$应用$P_V$对于第二个等式和减法，我们需要$v-P_v P_W v=f-P_Vg$。我们表明我们可以找到这样的$v（美元）$，并且它有效。
让$P_W|_V美元$是…的限制$P_W（美元）$到V美元$.然后我声称$\|P_W|_V\|<1$。要看到这一点，首先回忆一下$v+w\mapsto v$有界，所以有一个常数千美元$以便$\|v\|\le K\|v+w\|$为所有人$v\单位为v$,$w\单位：w$.现在让我们$v\单位为v$随心所欲。自$P_W伏$和$v-P_W v$是正交的，勾股定理给出$$\|v\|^2=\|P_W v \|^2+\|v-P_W v \|^2\ge\|P_ W v \| ^2+\ frac{1}{K^2}\|v\ |^2$$因此$\|P_W v\|^2\le（1-\frac{1}{K^2}）$.
因此，操作员$I-P_V P_W$，被视为上的操作员V美元$，是可逆的。让$v=（I-P_v P_W）^｛-1｝（f-P_v g）$，所以$v-P_v P_W v=f-P_Vg$.然后设置$w=g-P_w v$、和$h=v+w$。我们现在有$$\开始{align*}P_V h&=V+P_V g-P_V P_W V=f-P_Vg+P_Vg=f\\P_W h&=P_W v+g-P_W v=g\结束{align*}$$根据需要。
[1]法兰克·德意志《希尔伯特空间的子空间之间的角度》，Singh，S.P.（ed.）等人，近似理论，小波及其应用。《北约高级研究所关于近似理论、小波和应用最新发展的论文集》，意大利马拉特，1994年5月16日至26日。Dordrecht:Kluwer学术出版社。北约ASI系列。，序列号。C、 数学。物理学。科学。454, 107-130 (1995).ZBL0848.46010号,https://doi.org/10.1007/978-94-015-8577-4_7
