等变三角剖分的存在性

Question

我正在寻找一个兼容性结果，它将两种类型的结构连接起来，这两种结构可以施加在拓扑空间上X美元$:

1. 呼叫X美元$ 三角形的如果存在有限单形复形千美元$其几何实现$|K美元|$承认同胚X美元$.
2. 呼叫X美元$ 回旋的如果它接受一个非平凡的$\mathbb{Z}/2$-行动，在持续的意义上$\iota:X\至X$令人满意的$\iota\circ\iota=\text{id}\neq\iota$.

问题是：假设给定一个空间X美元$允许三角测量千美元$和内卷美元\iota$在上述意义上。我们真的可以找到另一个三角测量吗千美元$，理想情况下是千美元$，关于美元\iota$是一张简单的地图吗？

我很好奇这个问题有更多的通用版本，通过替换$\mathbb{Z}/2$由另一个有限群G美元$按三角形动作X美元$.如果所需的陈述是正确的，我很愿意被指给参考；如果这是假的，我想知道千美元$.

Answer 1

存在内卷化美元\西格玛$对于定点集为野生2球体的3球体：定点集不能是任何三角剖分的子复数，因此，美元\西格玛$在任何三角剖分中都不能是PL。

R.H.宾。,3球与两个实心角球之和之间的同胚，安。数学。(2) 56, 354-362 (1952).邮编：049.40401.

另请参见在这里因为Calegari接受了Bing的证据。

编辑。甚至有四个球体的自由对合（在某种意义上是唯一的），无法保持三角剖分（这是由于Ruberman）。因此，坏的不动点集并不是唯一的障碍。