我在评论中对这个问题的“预感”似乎是正确的！此模型来自保罗·E·霍华德。；玛丽·F·约克。,有限的定义，Fundam。数学。133，第3期，169-177（1989）。ZBL0704.03033号这篇论文有一些令人困惑的错误，尤其是定理15的证明似乎不够充分，所以我用另一个定理的证明详细地概述了这个论点。
$\newcommand{\supp}{\operatorname{supp}\nolimits}\新命令{\fix}{\operatorname{fix}\nolimits}$固定地面模型$\mathfrak｛M｝$ZFA+AC，其中集合美元$原子的可数无穷大并固定了稠密的线性次序${<}$属于美元$没有端点。让$\mathcal{P}$是有限区间划分的格美元$，即美元$分为有限多个块，其中每个块都是任意形状的区间。这是一个正在改进的晶格美元\leq Q$iff每个块P美元$包含在$Q美元$.会议$P\sqcap Q美元$由来自的块的所有非空交集组成P美元$和一个街区Q美元$.加入$P\sqcup Q$更复杂：$P\sqcup Q$是形式的最大并集$B_1\cup B_2\cup\cdots\cup B_k$哪里P\cup Q中的$1、B2、\ldot、B_k$和$B_1\cap B_2，B_2\cap B3，\ldots，B_{k-1}\cap B_k$都是非空的。给定区间分区P美元$，我们写${\sim_P}$对于相关的等价关系：$x\sim_P年$若（iff）x美元$和美元$属于同一块P美元$.
让G美元$是一组排列美元\pi$属于美元$有限支撑$\supp\pi=\{x\单位为U:\pi（x）\neq x\}$.给定区间分区P美元$属于美元$，让$$G_P=\{\pi\in G:（对于所有B\in P）（\pi（B）=B）\}$$注意以下事实：
- $G_{P\sqcap Q}=G_P\cap G_Q$.
- 如果$\{x\}$是一块P美元$对于每个$x\in\supp\pi$然后$\pi G_P\pi^{-1}=G_P$.
- $G_｛P\平方杯Q｝$是由生成的子组$G_P\杯G_Q$.
因此，这些子组生成一个正常的过滤器$\mathcal{F}$的子组G美元$.让$\mathfrak{N}$是与相关联的对称子模型$\mathcal{F}$:$$\mathfrak{N}=\{X\in\mathbrak{M}:\fix（X）\in\mathcal{F}\land X\subseteq\mathfrak{N}\}$$请注意，每增加3个$X\in\mathfrak{N}$有一个最粗的区间划分$\供应（X）$这样的话$G_P\subseteq\fix（X）$，即$$\supp（X）=\bigsqcup\{P:G_P\subseteq\operatorname{fix}（X）\}$$
引理。对于任何集合X美元$在里面$\mathfrak{N}$，如果$\pi\in\fix（X）$那么对于每个$x_0\单位：U$,$\pi（x_0）$不在块中$\supp（X）$与$x_0美元$.
证明。假设，为了矛盾起见A、B美元$相邻的区块是$\供应（X）$和$x_0\单位：A$,$\pi（x_0）\单位：B$对一些人来说$x_0美元$.我们将为任何人展示这一点$a\单位：a$和$b\单位：b$换位（a，b）美元$修复X美元$。请注意，至少有一个美元$或十亿美元$必须是无限的。让我们假设十亿美元$是无限的，另一种情况是对称的。
- 假设$a=x_0$和$b\notin\supp\pi$.然后$（a，b）=（x0，b）=\pi^{-1}（\pi（x0），b）\pi$.
- 假设$a=x_0$和$b\in\supp\pi$.然后选择$b'\在b\setminuse\supp\pi中$并注意到$（a，b）=（a，b'）（b，b'$.
- 假设$a\neq x_0$.然后$（a，b）=（a，x_0）（x_0，b）（a，x_0）$
因此$A\杯B$修复X美元$，这与事实相矛盾$\供应（X）$是最粗的隔板$G_{\supp（X）}\subseteq\fix（X）$.
权利要求1（Howard&Yorke，定理15）。 $\mathfrak{N}$不包含非晶态集。
证明。假设$X\in\mathfrak{N}$是无限的。如果$G_{supp（X）}$修复X美元$那么，按点计算X美元$是有序的，因此不是无定形的。拾取$x_0\以x表示$这样的话$P_0=\supp（x_0）\sqcap\supp（x）$适当精炼$\供应（X）$.让A、B美元$是两块相邻的$P_0$属于同一块$\supp（X）$.假设美元$有一个右端点美元$; 案例中十亿美元$有一个左端点是对称的。
让P_1美元$从……获得$P_0$通过更换美元$具有$A\设置减号\{A\}$和十亿美元$具有$B\杯\{a\}$.请注意，对于G_{P_1}中的$\phi，\psi\$,$\phi（x_0）=\psi$.修复$b\单位：b$这样的话$B\cap（-\infty，B）$和$B\cap[B，+\infty）$都是无限的。让$$X_0=\{\pi（X_0）：在G_{P_1}中为\pi$$和$$X_1=\{\pi（X_0）：在G_{P_1}中为\pi，在（a）中为\geqb\}$$这是两个不相交的无限子集X美元$.此外，$X_1，X_2\in\mathfrak｛N｝$因为它们都是由G_Q美元$哪里Q美元$是对$P_0，P_1$、和$\{（-\infty，b），[b，+\ infty）\}$.因此X美元$不是无定形的。
权利要求2。 美元$是$\Pi^1_1$-中的伪有限$\mathfrak{N}$.
素描。假设，为了矛盾起见$$（对于所有Y\subseteq X^n，Z\substeq X^m，\ldots）\phi（X，Y，Z，\ldot）$$是一个$\Pi^1_1美元$对每个有限集都成立的语句X美元$但为假$X=U美元$.让$Y\subseteq U^n，Z\substeq U^m，\ldots$被设置在$\mathfrak{N}$这样的话$\lnot\phi（U、Y、Z、\ldot）$.让$P=\supp（Y）\sqcap\supp（Z）\sqcap\cdots$
注意，对于$Y、Z、\ldot$例如，当$n=1$然后Y美元$必须是来自P美元$.什么时候？$n=2$,Y美元$必须是两个区间的笛卡尔乘积的布尔组合P美元$和对角线集$\{（x，x）：x\在U\}中$等等。。。
通过EF型参数，如果$V\子结构U$是一个有限集，其中包含从$P美元$每组B美元$在以下情况下足够大十亿美元$是距离的无限间隔P美元$，然后$\phi（U、Y、Z、\ldot）$等于$\phi（V，Y\cap V^n，Z\cap V ^m，\ldots）$。由此可见$\lnot\phi（V，Y\cap V^n，Z\cap V ^m，\ldots）$对于某些有限集$V\子结构U$，但这与假设相矛盾。
因为最终目标是获得对$\Pi^1_1美元$-伪有限意味着，我将提出另一个猜想。
回顾塔斯基的II有限体概念：的每个子集链X美元$具有最大元素。这相当于$\Pi^1_1$声明：的每个总预排序X美元$具有最大元素.所以每$\Pi^1_1$-伪有限集是II有限集。似乎反过来可能是正确的，但我只提出以下建议：
猜想。没有无限$\Pi^1_1$-伪有限集当且仅当不存在无限II有限集。
