哪些高阶衍生品发挥了重要作用？

Question

问.哪些高阶衍生品发挥了重要作用在应用中，还是在定理中？

当然，距离w.r.t.时间（速度）的一阶导数，二阶导数（加速度），而第三阶导数（颠簸或急速）在应用中当然扮演了几个角色。以及曲线的扭转在里面$\mathbb{R}^3$可以表达使用三阶导数。

除此之外，我经验不足。我知道双调和方程 $\nabla^4\phi=0$.有一篇关于五次型的可解性,但这项工作似乎既不是针对应用，也不是对进一步的理论发展。（我很高兴能在这里纠正我的无知。）

问.依赖第四代衍生产品的应用程序示例有哪些（快速/跳动）或更高？是否存在需要存在的实质性定理$\部分^4$或更高版本假设，但不需要（或已知不需要）所有订单的平滑导数？

Answer 1

给定两组美元$和十亿美元$在里面$\mathbb{R}^n$，的闵可夫斯基和书面的A+B美元$是布景吗$\｛a+b:a\在a中，b\在b\中｝$.

如果美元$和十亿美元$是的凸子集$\mathbb{R}^2$具有实际分析边界，然后是A+B美元$只保证“$6\压裂{2}{3}$时间可微分，“我的意思是$6$可微分的时间$6$具有指数的Hölder连续导数$\压裂{2}{3}$.这是众所周知的尖锐。

Answer 2

莫瑟定理(1962)众所周知，需要对第一个333种衍生品.

Answer 3

有一个著名的故事，理查德·尼克松曾利用三次导数来支持他的连任，声称通货膨胀的增长率正在下降。

http://www.ams.org/notices/199610/page2.pdf

Answer 4

这个辛普森规则中的错误因为积分通常用被积函数的四阶导数表示。

Answer 5

在"经典的（欧拉-贝努利）梁理论“光束的运动由4阶PDE建模$$EI\frac｛\partial ^4 w｝｛\partial x ^4｝=-\mu\frac{\部分^2w}{\部分t^2}+q。$$

Answer 6

非线性孤子波方程通常具有很高的($3^+$)导数的顺序。

最著名的可能是KdV方程:$\partial_t\phi+\spartial_{xxx}\phi-6\phi\partial _x\phi=0$.

还有Boussinesq方程$\partial_{tt}\phi-\partial _{xx}\phi-\alpha\partial-{tt}（\phi^2）-\parcial_{xxxx}\phi=0$.

Answer 7

在最优运输中，有一个称为MTW张量的量[1]，它取决于成本函数的四阶导数。输运的正则性理论在很大程度上取决于这个张量的符号。除非MTW张量非负定，否则最优映射可能无法连续，即使度量是光滑的并且满足必要的凸性条件[2]。因此，正则性理论在很大程度上取决于成本函数$C^4美元$，尽管当成本函数为$C^3美元$[3].

关于更完整的故事，有一篇关于德菲利普斯和菲加利的调查论文，对理论进行了很好的概述[4]。

[1]马锡南；Neil S.Trudinger。；王、徐佳,最优运输问题势函数的正则性，建筑。定额。机械。分析。177，第2期，151-183（2005）。ZBL1072.49035号.

[2]格里戈伊尔·洛佩尔,最优运输问题解的正则性《数学学报》。202，第2期，241-283（2009）。ZBL1219.49038号.

[3]内斯特·吉伦；六月北川,关于c-凸势映射的局部几何，计算变量部分差异。埃克。52，No.1-2，345-387（2015）。ZBL1309.35038号..

[4]De Philippis，Guido；阿莱西奥·菲加利,Monge-Ampère方程及其与最优运输的联系,ZBL06377770号.

Answer 8

Kuramoto-Sivashinsky方程$$\partial_tu+\Delta^2u+\Delta u+\frac12|\nabla u|^2=0$$哪里美元\ Delta$是拉普拉斯算子（二阶），用于模拟层流火焰中的扩散不稳定性。有大量关于它的文献。

Answer 9

在卡勒几何和许多其他地方，（黎曼）度量通常（有时）通过包含两个导数的势函数来规定。因此，基本不变量，如黎曼曲率张量，涉及该函数的四阶导数。

对于任意高阶导数，这些自然产生的一个地方是李群的研究G美元$以及它们的同构空间美元G/H$例如，人们可能会问是否有一个“微分算子”作用于局部定义的微分同态美元G/H$其内核恰好由从左边产生的内核组成G美元$-行动。如上文RBega2所述$G=PSL（2，\mathbb{C}）$和$G/H=\mathbb{CP}^{1}$一种是引入Schwarzian导数，一种非线性三阶微分算子。20世纪60年代，斯宾塞对这个问题进行了总体研究，形成了所谓的斯宾塞情结。

尽管如此，这两起案件可能都比OP想要的要高雅得多。

Answer 10

在仿射几何和射影几何的研究中，自然会出现三阶导数（及更高阶导数）。也许最引人注目的是施瓦西（Schwarzian）.

Bochner公式还包含三个导数，是几何分析的基本工具。本着同样的精神，有许多重要的计算，有时需要四个导数（例如，最小曲面的西蒙斯恒等式）。

Answer 11

作为一名机器人专家，在为给定的机器人生成运动时，我总是密切关注位置相对于时间的三阶导数。位置的三阶导数通常被称为“急速”，它量化了运动的平滑度。请参见http://courses.shadmehrlab.org/Shortcourse/minimumjerk.pdf这篇文章对jerk进行了很好的描述。

一般来说，人们会尽量减少抖动，以使机器人运动平稳。如果位置作为时间的函数由x美元（吨）$那么这个混蛋就是

$\dddot{x}（t）=\frac{d^3x（t）}{dt^3}$

Answer 12

OP说

曲线的扭转$\mathbb R^3$可以使用三阶导数来表示。

一般来说，

中的曲线$\mathbb R^3$由最新的导数描述到等距$3$.

但这不是真的吗

中的曲线$\mathbb R^4$由最新的导数描述到等距$4$.

和

中的曲线$\mathbb R^5$由最新的导数描述到等距$5$.

等等？

Answer 13

与马丁·费弗（Martin Fevre）的回答类似：

当为快速车辆选择道路时，您需要将道路曲率的变化率降至最低，这样驾驶员就不必在急刹车时移动方向盘。例如，从环形环形交叉口到与环形交叉口相切的线性道路的完美过渡需要瞬时调整方向盘；这可以通过用曲率平滑变化的斜面连接圆和线来避免。

由于曲率本质上是二阶导数，因此曲率的变化率是三阶导数，要使曲率的变化速率最小化，就需要四阶导数。

Answer 14

哪些应用程序依赖于第四代衍生产品。。。还是更高？

这个狄拉克方程是四个复函数的四个偏微分方程组。然而，在一般情况下，它仅相当于一个函数的四阶方程（参见参考文献到我的文章）。

Answer 15

在几何测度理论（GMT）中，许多定理需要四个以上的导数。这部分是由于使用了纳什嵌入定理（这需要$C^3美元$). 我们将举两个例子。

阿尔姆格伦大正则性定理(1983, 2000)要求歧管$C^5美元$但德莱利斯和斯巴达罗(2014)设法将所需的规律性降低到$C^{3，\alpha}$对一些人来说$\alpha>0$（他们还大大简化和缩短了证明）。

阿尔姆格伦·皮特理论(1976年至今)，Pitts的原始结果(1981)关于维数闭黎曼流形中一个闭极小超曲面的存在性3美元\leq n \leq 6$要求歧管加元$具有$k\geq\mathrm{max}\{4，n-1$（最小超曲面也将是类加元$).

Answer 16

机器人应用程序（类似于Martin Fevre给出的应用程序）涉及最小化捕捉四驱车的轨迹，其中$\mathrm{snap}（t）：=\frac{\mathrm{d}^4x}{\mathr{d} t吨^4}$; 这是一个参考.

Answer 17

这可能是一个延伸，但分布理论与大量应用数学密切相关，并且严重依赖于具有以下导数的函数任意高阶.

Answer 18

我认为三阶和四阶导数在纯数学和应用数学中都很常见。例如，我曾用一些方程模拟含有三阶导数的移动液膜的局部膜厚：

$\delta q_{t}=\压裂{5}{6} 小时-\frac｛5｝｛2｝\frac｛q｝｛h^｛2｝｝+\delta\Bigg（\frac｛9｝｛7｝\frac｛q^｛2｝｝｝｛h^｛2｝｝h｛x｝-\frac｛17｝｛7｝\frac｛q｝{h} q个_{x} \比格）+\压裂{5}{6} 小时_{xxx}+\eta\Bigg[4\frac{q}{h^{2}}（h{x}）^{2{-\ frac{9}{2h}个_{x} 小时_{x} -6\压裂{q}{h} 小时_{xx}+\压裂{9}{2} 问_{xx}\Bigg]$

Answer 19

我曾经是化学博士答辩的校长（这是我们教员的标准；校长不应该和学生属于同一个系）。他的论文大多涉及对某物的七阶导数行为的模拟。据称，这是对混沌化学反应（当然存在周期性反应）的测试。然而，这个学生的数学能力很弱，所以我不知道他的结果有多有效。

Answer 20

我同意德克的回答，也存在任意高阶导数的应用。另一个例子是无限级Kosterlitz–Thouless相变

Answer 21

a的解析正则性$C^\英寸$可以使用无限的衍生品数量。一个函数$f\在C^\infty（\Omega）中$哪里$\欧米茄$是的开放子集$\mathbb卢比$是真正的分析$\欧米茄$所有人的iff千美元$紧子集$\欧米茄$，存在正常数$C_K，\rho_K$，因此$$\开始{数组}{ccc}\对于所有\alpha=（\alpha_1，\dots，\alpha_n）\in\mathbb n^n\，，& ~~ &\sup\limits_{x\在K}\left|（\partial_x^\alpha f）（x）\right|\le C_K\rho_K^{-\vert\alpha\vert}\alpha-！\，，\\[10倍]\vert\alpha\vert=\sum\alpha_j\，，& &\阿尔法=\戳\alpha_j！\，。\结束{数组}$$

Answer 22

也许可以说，在理论上（还有我听说的实践中）有许多地方使用了分析延拓。例如，黎曼-泽塔函数被发现是欧拉乘积公式的解析延拓。

当然，如果没有全部的函数的导数。