任意环的Gorenstein对称猜想

Question

Gorenstein对称猜想表明，对于Artin代数美元$一个正则模作为右模具有有限内射维数的充要条件是它作为左模具有有限内射维数。让id美元（百万）$表示模的内射维数百万美元$.

问题：是否有一个通用（如果可能的话是noetherian）环R美元$具有$id（R_R）\neq id(_{R} R（右）)$?

我希望有一个简单的反例，或者这个问题以前曾被考虑过。

Answer 1

由的引理A

亚伯拉罕·扎克斯,半主环的注入维数《代数杂志》13，73-86（1969）。兹比102216.07001,

如果R美元$是Noetherian$\text{id}（R_R）$和$\text{id}（_RR）$都是有限的，那么它们是相等的。

在

柯克曼，E。；库兹马诺维奇，J。；小，L。,Noetherian环的精细维数《代数杂志》147，第2期，350-364（1992）。ZBL0765.16004号.

作者评论说，他们不知道一侧具有有限内射维数，另一侧具有无限内射维数的Noetherian环的例子，因此可能没有简单的反例。

对于非Noetherian环，有一些众所周知的环的例子，它们一边是自内射的，另一边却不是：例如，可数维向量空间的自同态环。