你的问题的答案是“是”。这些复合物是第一由Hachimori在其博士论文中展示。请参阅他的网页上的清晰解释：
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hachi/math/library/nonextend_eng.html
这个$f美元$-这个复合体的矢量是（1,7,19,13）。我怀疑7个顶点是最小的。更新：我后来注意到Simon在1994年的论文附录F中展示了一个类似的例子：
西蒙·罗伯特·塞缪尔,“清洁度”的组合特性《代数杂志》167，第2期，第361-388页（1994年）。ZBL0855.13013号.
Hachimori的网页也对Simon的例子进行了相当好的介绍：
http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~hachi/math/library/simon_eng.html
与此同时，阿迪普拉西托、贝内代蒂和卢茨（自从你第一次提出这个问题以来）在他们的论文中将类似于哈奇森的思想扩展到了任意维度：
卡里姆·A·阿迪普拉西托。；布鲁诺·贝内代蒂；弗兰克·H·卢茨。,可折叠复合体和随机离散莫尔斯理论的极值例子，离散计算。地理。57，第4号，824-853（2017）。兹比1365.03055.
具有Hachimori特性的复合体最近作为一种工具出现了。它们被用作主要构建块之一，以表明SHELLABILITY问题在这篇论文Goaoc、Paták、Patаková、Tancer和Wagner。（这篇论文出现在一次会议上，尽管它似乎还没有出现在zbMath上。）
我要附带提一下，Goaoc、Paták、Patаková、Tancer和Wagner也需要一些其他与Hachimori的情结具有相同味道的构建块。就我的口味而言，它们的构造有点复杂，而且它们没有包括上述链接文件中的所有细节。我的博士生Andrés SantamariáGalvis有一些基于Hachimori的例子的简单结构。
