我认为这是一个很好的问题，因为仍然需要关于（单词）双曲组的权威参考。由于教科书不存在，我想通过列出我认为它应该涵盖的一些材料，以稍微不同的方向回答这个问题。（这不可避免地是一个个人的和有偏见的描述。）我会尽量包括我能想到的最好的参考。
问题中提到的Gromov的开创性文章包含了许多关于双曲群的断言，通常是Thurston关于双曲流形的著名定理的扩展。可能最简单的这种说法（这是研究自由群的外部自同构群的基础）现在被称为波林定理（参见第5.4.A节双曲线群).
波林定理：如果$\伽马射线$是一个无挠双曲群，它不会在循环子群上分裂$\mathrm{Out}（\Gamma）$是有限的。
另一个这样的说法是格罗莫夫文章中的5.3.C。
子群刚性定理：让$\伽马射线$是双曲群H美元$一个单端有限呈现的组。那么只有有限多个共轭子群$\伽马射线$同构于H美元$.
在双曲群格罗莫夫建议，使用测地线流对瑟斯顿的论点进行概括，可以证明这样的陈述。即使是在双曲群上构造候选测地线流的问题也是众所周知的困难。这个问题最终由Mineyev解决了，但据我所知，迄今为止还没有人能够用Mineyef的测地线流来证明Gromov提出的这些结果。
相反，证明这些结果的关键工具是撕裂机：Rips对真实树上群体的某些行为进行分类。对于有限的作用提出了集团，撕裂机是由Bestvina-Feighn开发的。米莎·卡波维奇在他的书中也给出了一个描述，所以感兴趣的读者可以看看下面的任何一个。
- Bestvina&Feighn，真实树上群体的稳定行动。发明。数学。121（1995），第2期，287–321
- 卡波维奇先生，双曲流形和离散群。数学进展，183。Birkhäuser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿，2001年。xxvi+467页
对于某些应用程序，需要撕裂机有限地生成小组。这最初由Sela开发，并由Guirardel更正和完善，因此此处的相关参考文献为：
- Sela，组的Acylindric可访问性。发明。数学。129（1997），第3期，527–565。
- Guirardel，有限生成群对$\mathbb{R}$-树木。傅里叶安学院（格勒诺布尔）58（2008），第1期，159-211。
通过Sela所称的Bestvina-Paulin方法.给定一个组的无穷多个动作G美元$在一个合适的好美元\ delta$-双曲线空间X美元$，可以传递到空间上的限制动作，该空间是X美元$或是一棵真正的树T美元$在后一种情况下，Rips的机器适用。除了Paulin的原始论文外，Bridson Swarup（他纠正了Paulin证明中的一个小错误）还对证明进行了另一种描述，也是对Rips机器的模化，Bestvina在他关于$\mathbb{R}$-树木。所以我们可以看看：
- Paulin，双曲群的外自同构和上的小作用$\mathbb{R}$-树木。，树木群理论（加州伯克利，1988）, 331–343,数学。科学。研究机构出版。1991年，施普林格出版社，19。
- Bridson&Swarup，关于Hausdorff-Gromov收敛性和Paulin定理，Enseign公司。数学。(2)40（1994年），第3-4期，267–289页。
- 贝斯特维纳，$\mathbb{R}$-拓扑、几何和群论中的树。几何拓扑手册，55-91，荷兰北部，阿姆斯特丹，2002年。
对于Paulin定理，Rips机器唯一需要的是它将真实树上的（nice）操作提升为简单树上的。更深入的应用，如子群刚性定理，往往需要一个臭名昭著的技巧，称为缩短参数想法是，如果G美元$在X美元$在他们的魔术课上都被选为“最矮的”G美元$是自由产物或G美元$在T美元$不忠实。这个把戏臭名昭著，呃，很狡猾。
第一篇参考文献是Rips-Sela的原始论文，他们在该论文中证明了无扭转情况下的子群刚性定理。（该扭转案后来由Delzant处理。）
- 裂缝和塞拉，双曲线群中的结构和刚度。一、。GAFA公司, 1994.
缩短论证是定理4.3，子群刚性定理是定理7.1。我在定理5.1中描述了
- Wilton，Bestvina和Feighn关于极限群的练习的解决方案，群论中的几何和上同调方法，第30-62页，LMS勒克特。注释序列号。358，CUP，2009年
Groves在中给出了另一种适用于托拉相对双曲群设置的缩短论证（以及这里提到的许多定理）：
- Groves，相对双曲群的极限群。二、。Makanin-Razborov图表。地理。白杨。9 (2005), 2319–2358.
这个工具包对双曲群的结构有着更为壮观的影响。最大的两个问题可能是Hopf性质和同构问题。
回忆一下G美元$据说是非霍普菲亚人如果存在非内射同态$G\至G$.英寸
- Sela，双曲群的自同态。I.Hopf地产。拓扑结构38（1999），第2期，301-321。
Sela证明了所有无挠双曲群的Hopf性质。在Reinfeldt-Weimann的预印本中处理了扭转情况。
Sela在中解决了无挠刚性双曲群（如双曲3-流形群）的同构问题
- Sela，双曲群的同构问题。一、。数学年鉴。(2)141（1995），第2期，217–283。
为了将其扩展到非刚性情况，需要针对群的JSJ理论，该理论由Rips-Sela于
- Rips&Sela，有限呈现群的循环分裂和规范JSJ分解。数学年鉴。(2)，146（1997），第1期，53–109。
从伊恩的回答中可以明显看出，这个理论已经发展了很多，坦率地说，最近的方法比原始的里普斯-塞拉版本要简单得多。最后，在中处理了无扭转非刚性情况（以及toral相对双曲线情况）
- Dahmani&Groves，toral相对双曲群的同构问题。出版物。数学。高等科学研究院。第107号（2008），211-290。
而扭力案是在
- Dahmani&Guirardel，所有双曲群的同构问题。地理。功能。分析。21（2011），第2期，223–300。
这两篇论文都遵循了塞拉的提纲，尽管需要克服主要的技术性问题。
NWMT已经在评论中表示，所有这些对于教科书来说都太难了。总的来说，这是正确的，但我可以想象一本高级参考书，它描述了Rips机器、Bestvina-Paulin方法和缩短论证，并给出了Paulin定理和子群刚性定理的应用。这些仍然是双曲群理论中最令人惊叹和最美丽的论点，我有点担心，目前的许多研究似乎都在远离它们，而不是试图简化或扩展它们。
