循环不会在签名中被取消。（你可能想计算一个圆的签名。第二个迭代积分是非零的；事实上，根据格林定理，它给出了圆内的面积，可能是一个因子$\frac{1}{2}$或其他。）被抵消的是路径回溯或加倍的任何段。自然的问题是哪些路径具有平凡的签名。
签名的概念基本上是由K.T.Chen于1958年提出的。Chen有一个“不可约”路径的概念，即不能写成$\alpha\cdot\gamma\cdot\ gamma^{-1}\cdot\feta$，其中$\cdot$是串联的，$\gamma^}$是$\gama$的反转。Chen证明了对于分段正则路径（具有非零导数的分段$C^1$），具有平凡签名的不可约路径是平凡的。因此，任何具有平凡签名的路径都是有限的“回溯”序列。
陈国才,路径的集成。非交换形式幂级数对路径的忠实表示，事务处理。美国数学。《社会学杂志》第89卷，第395-407页（1959年）。ZBL0097.25803号.
最近，在一篇非常著名的论文中，Hambly和Lyons考虑了有界变化路径的情况。他们引入了“树状路径”的概念，在某种意义上，路径的每一部分都被折回；但可能有无限多的“碎片”。他们证明了一条有界变差的路径如果是树状的，则具有平凡的签名，并推测在正则性较低的假设下，这一点仍然成立。
本·汉布利；特里·里昂,有界变差路径和约化路径群签名的唯一性，安。数学。（2） 171，第1期，第109-167页（2010年）。ZBL1276.58012号.
如果你查阅引用汉布利和里昂的论文，你会发现最近的进展。对于弱几何路径，似乎已经证明了适当定义的“平凡签名iff-tree-like”。
博迪哈乔（Boedihardjo），霍雷肖（Horatio）；耿熙；莱昂斯，特里；杨丹玉,粗糙路径的签名：唯一性高级数学。293, 720-737 (2016).ZBL1347.60094号.
对于简单的路径。
博迪哈乔（Boedihardjo），霍雷肖（Horatio）；倪浩；钱忠民,简单曲线签名的唯一性，J.Funct。分析。267，第6期，1778-1806（2014）。ZBL1294.60063号.
也有关于如何从签名显式重建路径的工作，直到树状等价。
耿熙,粗糙路径特征的重构,ZBL06775247号.
