当R美元$是合理的。我使用的属性是：
- R美元$是诺以太式的；
- $\波浪线R$是诺以太式的；
- $\波浪线R$是悬链线和等维的（即每个最大链$0=\mathfrak q_0\subsetneq\ldots\subsetneq\mathbrak q_d$素理想的$\波浪线R$具有相同的长度）。
例如，如果R美元$在字段上为有限类型$\mathbb Z美元$。可能会削弱其中一些假设。
引理。让$f\冒号R\到S$是一个积分环映射，让$\mathfrak q\subseteq S$做一个总理，让$\mathfrak p=f^{-1}（\mathbrak q）$.然后$$\dim R/\mathfrak p=\dim S/\mathbrak q$$
证明。这是位理论，只使用积分映射的上升定理[AM，Thm.5.11]。事实上，上升定理意味着链$\mathfrak p=\mathfrak p_0\subsetneq\mathflak p_1\subetneq\ldots$的素数R美元$包含$\mathfrak p美元$可以提升到一些链条上$\mathfrak q=\mathfrak q_0\subsetneq\mathfrak q_1\subsetneq\ldots$属于美元$，从哪里$\dim S/\mathfrak q\geq\dim R/\mathbrak p美元$.
相反，如果$\mathfrak q_1\subseteq\mathbrak q_2$素数是美元$具有$f^{-1}（\mathfrak q_1）=f^{-1}（\fathfrak q_2）=\mathbrak p$，那么我们必须$\mathfrak q_1=\mathbrak q_2$的确，它们对应于积分环映射中的素数$\kappa（\mathfrak p）\到S\otimes_R\kappa\mathfrak p）$的素理想之间没有包含$S\otimes_R\kappa（\mathfrak p）$[标签00GS(3)]. 因此，链的反像$\mathfrak q=\mathfrak q_0\subsetneq\mathfrak q_1\subsetneq\ldots$的素数美元$包含$\mathfrak q美元$是一个严格的链$\mathfrak p=\mathfrak p_0\subsetneq\mathflak p_1\subetneq\ldots$的素数R美元$包含$\mathfrak p美元$，从哪里$\dim R/\mathfrak p\geq\dim S/\mathbrak q美元$.美元\平方$
备注。在下面的证明中，我们想关联$\mathfrak q美元$和$\mathfrak p美元$如引理所示。对于这种力，我们可以在假设（3）下这样做$\operatorname{ht}（\mathfrak p）=\dim R-\dim R/\mathfrak p$（和类似的$\mathfrak q美元$).
提案。让R美元$是满足上述性质（1）-（3）的域。如果$p\卢比$是素元素，那么美元$是中的素元素$\波浪线R$.
证明。根据假设，$\mathfrak p=（p）$是一个首要的理想。根据克鲁尔的《Hauptidealsatz》[AM，Cor.117]，这意味着$\mathfrak p美元$有高度$1$，即。$R_\mathfrak p美元$是一个$1$-维域。因为它的最大理想$\mathfrak pR_\mathbrak p$我们的结论是$R_\mathfrak p美元$是带有均匀化器的DVR[AM，Prop.9.2]美元$; 特别地$R_\mathfrak p美元$是正常的。
另一方面，归一化与本地化相辅相成[AM，Prop.5.12]。因此，$$（\tilde R）_\mathfrak p=（R_\math frak p）^\sim=R_\Math frak p$$自从$R_\mathfrak p美元$是正常的。也就是说，自然地图$R\到\颚化R$当张量为$R_\mathfrak p美元$，因此当张量为$\kappa（\mathfrak p）=R_\mathfrak p/\mathflak pR_\mathfrak p$.的素数$\tilde R\otimes_R\kappa（\mathfrak p）$是的素数$\波浪线R$躺着$\mathfrak p美元$[AM，执行例3.21（iv）]，因此我们得出结论，存在一个独特的这样的素数$\mathfrak q美元$。请注意$\mathfrak q美元$最小超过$\mathfrak p\波浪线R$，因此具有高度$1$克鲁尔的Hauptidealsatz。
如果$\mathfrak r\subsetq\波浪线r$是另一个高度$1$素数，然后$p\不\in\mathfrak r$的确，如果$p\in\mathfrak r$，然后$\mathfrak p'=\mathbrak r\cap r$包含$\mathfrak p美元$.应用引理和上述注释，我们得出如下结论$\operatorname{ht}（\mathfrak p'）=\operator name{ht{（\mathfrak r）=1$.因此$\mathfrak p'=\mathbrak p$自从$\mathfrak p\substeq\mathfrak p'$而且都有身高$1$.
因此，对于高度$1$首要的$\mathfrak r\subsetq\波浪线r$，我们有$$v_{\mathfrak r}（p）=\left\{\begin{array}{cc}1，&\mathfrak r=\mathbrak q，\\0，&\mathfrak r neq\mathflak q，\end{arrary}\right$$自从美元$是DVR的均匀化器$\tilde R_\mathfrak q\cong R_\mathfrak p$.如果$q\in\mathfrak q美元$，然后$v_\mathfrak r（q）\geq v_\mathfrak r（p）$适用于所有高度$1$素数$\mathfrak r\subsetq\波浪线r$因此，$\分数{q}{p}\在\波浪线R中$【Eis，Cor.11.4】，这表明$\mathfrak q\subseteq（p）$。背面包含的内容如下$\mathfrak q\cap R=\mathfrak p$，因此$（p）=\mathfrak q$是质数。美元\平方$
备注。我们用几何语言证明：
- 有一个唯一的不可约除数$V（\mathfrak q）\subseteq\operatorname{Spec}\tilde R$支配不可约除数$V（\mathfrak p）\subseteq\operatorname{Spec}R$;
- 轨迹$V（p）\subseteq\operatorname{Spec}\tilde R$没有分离出一个新的高余维分量；
- 均匀器美元$对于除数$V（\mathfrak p）\subseteq\operatorname{Spec}R$仍然是$V（\mathfrak q）\subseteq\operatorname{Spec}\tilde R$（没有分支）。
参考文献。
[AM]阿提亚，M.F。；I.G.麦克唐纳。，交换代数导论Addison-Wesley出版公司（1969年）。兹比卢175.03601.
艾森巴德博士。，面向代数几何的交换代数.数学研究生课程150斯普林格·弗拉格（1995）。ZBL0819.13001号.
