BDG中常数的最佳增长是多少？

Question

设$X$是一个连续局部鞅，$\langleX\rangle$是它的二次变分过程。书中发现的Burkholder-Davis-Gundy不等式的“标准”证明为大$p$产生$（\mathsf{E}|X|^{p}）^{1/p}\leO（p）\cdot。

增长率能提高到例如$O（p^{1/2}）$吗？例如，如果$\langle X\rangle$有界，则此估计会给出$|X|$的指数尾部，这显然是次优的，因为它们应该是高斯的。

Answer 1

我知道一个版本，它精确地给出了$p\ge2$的常量$O（p^{1/2}）$。它包含在D.Khoshnevisan关于SPDE的演讲稿中。

Answer 2

对于有界$<X>_T$，$X_T$的尾部应该是次高斯的，这是正确的。然而，Burkholder-Davis-Gundy不等式给出了$X$的运行上确界$X_T^*=\sup_｛T\le T｝|X_T|$的$L^p$范数的上界，而不仅仅是$X_T$本身。

我看不出为什么$X_T^*$应该具有次高斯尾数，即使$<X>_T$是有界的。事实上，它不可能总是具有次高斯尾数，否则$p\ge 2$的已知最佳常数$p-1$（参见George Lowthers备注）将不是最佳的。

Answer 3

这个评论太长了。

对于$X_{t}=\int_{0}形式的鞅^{t} （f）（s，\omega）dB_{s}$其中$B_{t}$是标准的布朗运动，$f（s，\ omega）$是非预期函数，使得$\int_{0}^{\infty}f^{2}（s，\n omega）ds<\ infty$a.s。这是由于伯吉斯·戴维斯（见第3节）的参考。该结果基本上来自具有任意$L^p$可积停止时间的Brownian情形。

然而，对于离散时间鞅，这不是真的，例如，对于大的$p$，最佳可能界是$p$阶，参见G.Wang的论文，备注2。另一方面，有一些非常特殊的“条件对称”离散鞅，可以得到其阶$\sqrt{p}$的界。在这个意义上，连续的$L^{2}$可积鞅类似于条件对称鞅。

王刚,鞅条件平方函数的Sharp不等式，Ann，Probab。第19卷，第4期，1679-1688页（1991年）。ZBL0744.60046号.

伯吉斯·戴维斯,随机积分和其他鞅的$L^p$范数杜克大学数学系。J.43，697-704（1976）。ZBL0349.60061号.