设定理论多元宇宙和真理

Question

在J.D.Hamkins的书中集合论的多元宇宙观，从另一个宇宙的角度来看，每个宇宙都有一个以ill为基础的$\mathbb{N}$。这是否意味着，从其他宇宙的角度来看，我们宇宙中的每一个证明都可以被视为非标准长度证明，因此多元宇宙中没有真正的“真理”？

即使是简单的具体证明，如算术基本定理，也会发生这种情况吗？或者有些证据在所有宇宙中都是标准长度的？

Answer 1

谢谢你对我关于集合理论的观点感兴趣多元宇宙。

是的，确实，你提到的根深蒂固的海市蜃楼公理是可能是我的多元宇宙公理中最具争议的，所以请允许我解释一下。

该公理有力地表达了这样一种观点，即我们实际上并不具有基本稳健的有限in绝对概念数学。具体来说，该公理断言集合论是建立在自然数基础上的另一个更好的宇宙的观点。因此，每一套理论我们可能寻求从事数学研究的背景相对于另一个宇宙来说，活动是不标准的。

我如此挑衅性地提出这一公理的目的是要指出我相信的是我们哲学的不令人满意的本质对有限的描述。

你可能对我写的关于这个主题的短文感兴趣，A类数学问题神谕，发表在新加坡无限研讨会的会议记录中和真相。作为一段有趣有趣的插曲研讨会组织者要求研讨会上的每个人提出一个可能会被问到的特定问题数学预言家，他会如实回答。我的问题是在数学中，我们是否真的对有限的。

为了进一步解释数学上，它们是数字，$0$，$1$，$2$，等等上的。自然数具有所有常见的算术结构，被许多人认为具有明确的绝对性；算术真理主张被认为具有明确的绝对性例如与相对不太确定的基础进行比较设定理论上的真理断言。

当然，许多数学家和哲学家提出了算术和分析之间的界限，其中据说数论和算术有一个确定的绝对数自然，而集合论的更高层次的断言，从关于自然数集合的声明开始，是不太确定。例如，Nik Weaver建议经典逻辑适用于算术领域后一个领域的直觉主义逻辑，以及类似的位置所罗门·费弗曼等人提倡。

但是这个短语“等等”在对有限的天真描述？它似乎真的做到了我发现它基本上不足以完成任务。形势比我通常认为的更加微妙和有问题已确认。为什么人们发现他们的有限概念如此清晰和绝对？在我看来，这似乎是非常模糊的。

当然，在ZFC或其他系统的公理系统中，我们对有限的含义有一个明确的定义。问题是不是这样，而是这些内部账户有限性与对元理论中使用的有限。

一些数学家指出，各种分类论证如下解释为什么谈论自然是有意义的数字作为一种确定的数学结构。Dedekind证明了，毕竟，只有一个模型是同构的二阶Peano公理的$\langle\mathbb{N}，S，0\rangle$，如果$0$不是后续函数，则后续函数$S$是一对一，而$\mathbb{N}$是$\mat血红蛋白{N}的唯一子集$包含$0$并在后续项下关闭。

但在我的思维方式中，这种明确性的论证只会推动从算术到集合论的问题，基于算术的绝对性自然数的任意集合。但这怎么会给人带来信心？

毕竟，我们已经非常清楚集合论中的绝对性。集合论的不同模型可以对于连续体假设是否成立选择公理成立，无数的例子非绝对性。集合论的不同模型可能不同意他们的自然数结构，即使他们同意自然数，他们仍然可以不同意他们的理论算术真理（参见满意度不是绝对的).所以我们都知道数学真理断言看起来是怎样的在集合论中是非绝对的。

斯科利姆指出，集合论有$M_1$、$M_2两种模型$$M_3$与集合$a$相同，因此$M_1$认为$a$是有限$M_2$认为$A$是可数无限的，而$M_3$认为$A$是无法计数的。例如，让$M_3$是集合论，让$M_1$是上的一个超滤器的超幂$M_3$中的$\mathbb{N}$，并让$A$是非标准自然数$M_1$的。所以$M_1$认为$A$是有限的，但$M_3$认为$A有尺寸连续性。如果$M_2$是$M_3$的强制扩展，我们可以安排$A$在$M_2$中是可数无限的。

在我们的集合理论中没有多少集合理论信息背景可以证明我们目前对自然数，无论是什么，都是真正的标准数，因为无论我们断言什么是正确的，在某些非标准情况下也是正确的自然数不标准的模型。

根深蒂固的海市蜃楼公理断言，这种现象是普遍性：所有的普遍性都是错误的。

为了捍卫海市蜃楼公理，让我指出，无论人们对它持何种态度，公理都不能被视为不连贯或不一致，因为维多利亚·吉特曼和我已经证明，我的所有多元宇宙公理在由ZFC的可计算饱和模型组成的多元宇宙中都是正确的。所以这个公理既不矛盾也不不连贯。请参见多元宇宙公理的自然模型.

我在几篇论文中讨论了我的多元宇宙观。

乔尔·戴维·哈姆金斯，集合论多元宇宙，修订版符号。日志。第5期，第3期，第416-449页（2012年）。地址：10.1017/S1755020311000359，ZBL1260.03103号.

乔尔·戴维·哈姆金斯，建构性公理的多元宇宙透视Chong，Chitat（编辑）等人，《无限与真理》。基于2011年7月25日至29日在新加坡研讨会上的会谈。新泽西州哈肯萨克：世界科学（ISBN 978-981-4571-03-6/hbk；978-981-14571-05/ebook）。课堂笔记系列。数学科学研究所。新加坡国立大学25，25-45（2014）。内政部：10.1142/9789814571043_0002，ZBL1321.03061号.

维多利亚州吉特曼；乔尔·戴维·哈姆金斯，多元宇宙公理的自然模型《圣母院J.形式逻辑》51，第4期，475-484（2010）。内政部：10.1215/00294527-2010-030，ZBL1214.03035号.

乔尔·戴维·哈姆金斯；杨瑞芝，满意度不是绝对的，出现在《符号逻辑评论》中。

但最后，要解决您的具体问题。当然，在那里是相对于任何另类集合理论背景。正如迈克尔·格雷内克指出的那样在评论中，数字35253586543具有该值不管你的元数学位置。当然，在这里对于任何一个替代基础。

与此同时，我发现考虑这种情况很有趣不同的基础体系在可证明的内容上存在分歧。例如，在我最近的工作中，我们正在研究集合论和算术势论，其中不同的基础体系对什么是真实的或可证明的。

例如，最近和休·伍丁在一起，我证明了通用有限集$\{x\mid\varphi（x）}$，ZFC证明的集是有限的，在集合的任何传递模型中都是空的理论，但如果集合在集合论的某个可数模型中为$y$$M$和$z$是$M$中带有$y\subset z$的任何有限集，那么这里是$M$到集合所在的模型$N$的顶部扩展精确到$z$。证明的关键是玩非绝对$M$及其各种顶级扩展之间的真理性质。

Answer 2

这里有一个微妙的问题，但并不是OP认为的那样。任何显式写入的整数显然都是“标准”的，而每个新的整数都是在超幂$\mathbb N美元$显然是“不标准的”。微妙的问题是$\mathbb N美元$我们正在处理的是，从另一个集合理论宇宙的观点来看，可能存在看起来不标准的整数（当然大于显式编写的整数）。

但这并没有改变任何具体证据都有“标准”长度的事实。由于我们接受哈姆金斯多元宇宙中每个宇宙实例的ZFC公理，这与超有限性无关。

在本出版物（另请参见在这里)我们证明了一个定理，即哈姆金斯-吉特曼“玩具模型”中的每个宇宙实际上都是爱德华·尼尔森的一个变体的模型内集理论翻译成罗宾逊框架的术语，这意味着多元宇宙中宇宙的每个实例中的整数不仅包含一个初始截，包括所有显式指定的整数，还包含大量根据多元宇宙中“较小”的宇宙而无限的整数。

人们应该注意到，“标准$\mathbb N美元$“是一种幻觉，正如这些问题和答案是背后的主要驱动力彼得·沃潘卡的数学基础的探讨，公式化为his另类集合论根据我读到的沃彭卡的作品，早在20世纪70年代。

Answer 3

我认为只有乔尔能回答这个问题，但我想指出的是，这里有一些微妙之处，而评论员们却忽略了。在Joel的多元宇宙概念中，没有“标准”$\mathbb{N}$，因此一个模型中的标准自然数可能在另一个模型里是非标准的。这意味着，在一个模型中，在PA中看似是证据的东西，在另一个模型中将显示为非标准长度，而不是证据。

那么：“长度35253586543总是长度352530586543”？从乔尔的角度来看，我甚至不确定我们是否知道35253586543是每个模型中的标准自然数。要真正数到这么高需要很长时间。当然，在使用非标准$\mathbb{N}$it的模型中看起来像是非标准数字是标准的，你可以把它们加起来，认为你只执行了有限的步骤。那么你怎么知道你认为标准的数字也被其他人视为标准呢？也许对于较小的数字，你可以直接直觉地理解这一点，但这很有哲理性。

你可能会认为这个数字只有11位长，也许我们可以证明所有11位长的数字在每个宇宙中都必须是标准的，这样证明本身就足够短，我们可以直接“看到”它在任何模型中都是一个证明。也许 吧。这至少需要一些认真的论证。

“我们使用的实际证明具有标准长度”——当然，在我们看来是这样的，但我们对算术基本定理的证明是否会在其他模型中具有非标准长度？我们怎么知道它不会呢？你看，这些问题比一开始看起来要微妙得多。

编辑：我想我应该澄清一下，我并没有在这里表达自己的观点。在我看来，这在其他方面与乔尔的观点很接近，有一个标准的$\mathbb{N}$和一个绝对的算术真理概念。然而，没有不可数的集合，像实线这样的“集合”实际上是适当的类。因此，如果ZFC是一致的，那么它有一系列可数模型，但没有规范模型。

我之所以提出这种观点，是因为我澄清了我认为集合与真类之间的本质区别（数学哲学家一直在努力解释这一点）。我有几篇关于arXiv的论文，阐述了我的立场；“数学概念主义”可能是最好的起点。我在书的最后一章详细阐述了我对固定/适当阶级区分的观点真理与自信.

Answer 4

由于算术基本定理是$PA$的一个定理，它适用于$PA$标准模型和非标准模型。由于可以在$ZFC$和$GBC$中解释$PA$（例如，对于$ZFC$s，它在$ZFC$中可以解释为片段$ZFC@$-$无穷--注意，在$ZFC$中，所有“有限”的定义都是等价的，而在$ZF$中，有一个“有限的无限性”，但由于$V{\omega}$$\vDash$$ZF$$$-$无穷也满足$ZFC$$-$无穷，$V{\omega}$的所有“有限”定义仍然是等价的），可以看出$PA$在某些背景集理论中是可以解释的，只要$PA$的模型可以在$ZFC$的模型中解释（比如），那么算术基本定理就成立了。

[补遗：虽然安德烈是正确的，即解释不是理论，但可以用另一种理论解释一种理论（关于$ZF$和$ZFC$中$PA$的解释，请参阅理查德·凯和丁洛克·王的论文“关于算术和集合论的解释”）我使用这种解释是为了表明，在正确的背景集理论（$ZFC$）下，人们仍然认为，对于$PA$的解释，算术基本定理将适用于$ZFC$$的模型，无论所讨论的$PA$模型是“标准”还是“非标准”（无论这些术语在哈姆金斯的集合理论多元宇宙中意味着什么）。]