正截面曲率并不意味着正定曲率算子？

Question

$\Lambda^2（TM）$上的曲率算子在可分解的双向量上定义为$$g（\mathfrak{R}（X\wedget Y），V\wedged W）=R（X，Y，W，V）$$，然后通过线性扩展到$\Lambeda^2的所有元素。它是自共轭的，因此在$\Lambda^2（TM）$上定义了对称双线性形式。如果这个形式是正定的，那么所有截面曲率都是正值。

我的问题是：是否存在截面曲率为正但曲率算子为不定的黎曼流形？

正截面曲率意味着$g（\mathfrak{R}（\alpha），\alpha）全部>0$可分解的二元体，似乎并不排除不可分解的双向量$\beta$，其中$g（\mathfrak{R}（\beta），\beta]）<0$。在维度3中，所有双向量都是可分解的，因此反例只能从维度4开始存在。

第二个问题：如果前一个问题的答案是“是”，那么截面曲率的收缩意味着曲率算子的正性是什么？

Answer 1

对于第一个问题：紧致流形上的正曲率算子意味着流形是微分的空间形式，即截面曲率流形。这是由于C.Boehm和B.Wilking具有正曲率算子的流形是空间形式《数学年鉴》，167（2008），1079–1097。

因此，大多数已知的正弯曲流形不允许具有正曲率算子的度量。最简单的例子是$CP^n$，$n>1$。

我不知道截面曲率收缩是如何暗示正曲率算子的，但例如，您可以追溯J.-P.布尔吉尼翁、H.卡彻、，曲率操作符：收缩估计和几何示例《科学年鉴》。埃科尔规范。Sup.（4）11（1978），no.1，71–92，其中可以找到曲率算子特征值关于截面曲率收缩的一些估计。

Answer 2

曲率算子的正定性($R>0$)是作为许多的强于正截面曲率的条件($\秒>0$). 事实上，正如Igor所提到的，根据Boehm和Wilking的工作，只有球面空间形式才允许度量$R>0$，虽然许多（但不是那么多！）其他流形承认具有$\秒>0$此类歧管的几乎完整列表可在本节第4节中找到齐勒调查.

当然，虽然$R\冒号\楔形^2 T_pM\至楔形^2T_pM$对称（因此可对角化），其特征空间不必与格拉斯曼矩阵相交$Gr_2（T_pM）=\{\sigma\in\wedge^2 T_pM:\sigma\wedge\sigma=0，\|\sigma\ |=1\}$.因此R美元$可能与限制同时具有一些零（甚至负）特征值$\sec（\sigma）=\langle R（\sigma），\sigma\rangle$其二次型为$Gr_2（T_pM）$是积极的。例如，在$\mathbb加元$这就是发生的情况：R美元$是正的仲烯烃类（并且具有非平凡的内核），但该内核不与格拉斯曼函数相交。

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代数上，有一个中间的曲率条件介于$\秒>0$和$R>0$打电话强正曲率，你可能会感兴趣。即曲率算子$R\冒号\楔形^2 V \至楔形^ 2 V$如果存在$4$-形式$\omega\in\楔形^4V$这样的话$R+\欧米茄$是肯定的。在这里，$\omega\in\wedget ^4伏$用对称自同态标识$\omega\colon\wedge ^2V\to\wedge^2V$通过$$\langle\omega（\alpha），\beta\rangle=\langle\ omega，\alpha\wedge\beta\ rangle$$显然，$R>0$表示强正曲率（取$\omega=0$).自$\sec（\sigma）=\langle R（\sigma），\sigma\rangle$和$\langle\omega（\sigma），\sigma\rangle=\langle\ omega，\sigma\wedge\sigma-rangle=0$如果美元\西格玛$是可分解的，强正曲率意味着$\秒>0$在过去几年里，我与R.Mendes一起对这种曲率条件进行了系统研究；有关详细信息，请参见以下内容：

Bettiol，Renato G。；里卡多·门德斯（Ricardo A.E.Mendes）。,强正曲率《全球分析年鉴》。地理。53，第3期，287-309（2018）。ZBL1395.53058型.（arXiv）

Bettiol，Renato G。；里卡多·门德斯（Ricardo A.E.Mendes）。,强非负曲率，数学。Ann.368，No.3-4，971-986（2017）。ZBL1377.53020号.（arXiv）

Bettiol，Renato G。；里卡多·门德斯（Ricardo A.E.Mendes）。,强正曲率的标志流形，数学。字280，第3-4号，1031-1046（2015）。兹比尔1360.53056.（arXiv）

例如，$（\mathbb C P^n，g_{FS}）$具有强正曲率，因为$R+\varepsilon（\omega_{FS}\wedge\omega_{FS}）>0$对于小型$\varepsilon>0$，其中$\omega_{FS}$是Fubini研究$2$-形式。

结果是几乎所有已知的流形例子$\秒>0$实际上满足了这个更强的条件。对于带有$\秒\geq0$实际上全部的已知示例满足类似的“强非负曲率”条件（这需要$R+\欧米茄$为正硫氰酸盐）。

Answer 3

这一论点是由伯克哈德·威尔金提出的。其他答案，很好地回答了OP问题，但我想举一个尖锐的例子。即具有正截面曲率的流形和具有一些负特征值的曲率算子：

$$存在\（M，g）\\text{s.t.}\\sec_g>0\quad\text{但不存在}\quad\\mathcal{R}\geq0$$

任何正截面曲率度量$\mathsf{SU（3）}/\mathsf{T^2}$有一些负曲率算子。看看这个。注意它是一个不可约的正截面曲率单连通黎曼流形它不同构于任何对称空间; 因此它应该有一些负曲率算子非负曲率算子闭流形的分类。有关示例，请参见第270页，定理7.34属于

Bennett Chow；卢鹏；倪磊,汉密尔顿的里奇流，数学研究生77。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（ISBN 0-8218-4231-5/hbk）。xxxvi，608页。(2006).ZBL1118.53001号.