F_p^2上的超奇异椭圆曲线及其“函数”结构

Question

在1987年写给泰特的一封信中，塞雷描述了一个将模p模形式与四元数联系起来的美丽定理（“关于四元数和模形式（mod p）的两个字母”，Israel J.Math。95 (1996), 281--299). 在第284页备注（4）的开头，Serre说F_p上的每个超奇异椭圆曲线E在有限域F上都有一个带p^2元素的“正则函数”结构E_0。他进一步说（如果我理解正确的话），这种F结构是由E_0的相对Frobenius自同态等于F上E_0的自同态环中的-p的条件决定的。

我的问题是：请问有没有人能详细证明这一事实？此外，在给定的超奇异椭圆曲线E中，相对Frobenius充当p（而不是-p）的乘法，可以找到它的F结构吗？谢谢

Answer 1

(编辑：我用逆函子（即基扩展）重写了我的论点，因为这样更清楚、更自然。）

下面的大部分内容只是对罗宾·查普曼所写内容的重组。

定理：对于每个质数$p$，类别$\mathcal中的基扩展函子{C}（C）_$\mathbf上椭圆曲线的{-p}${F}（F）_{p^2}$上的$p^2$-Frobenius自同态作为$\overline{\mathbf{F}}_p$上超奇异椭圆曲线范畴的$-p$是一个范畴的等价性.

证明：为了证明函子是范畴的等价，只要证明函子完全、忠实且本质上是满射的就足够了。它是忠实的（平凡的），也是完整的（因为$\mathcal中椭圆曲线的基扩张之间存在同态{C}（C）_{-p}$自动尊重每侧的Frobenius）。本质满射性遵循引理3.2.1

Baker，González-Jiménez，Gonz-lez，Poonen，“亏格至少为2的模曲线的有限性定理”，阿默尔。数学杂志。 127(2005), 1325–1387,

通过建立一条曲线的模型，并通过可分离等基因获得其他曲线的模型来证明这一点$\正方形$

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类别$\mathcal也是如此{C} （p）$的定义类似，但Frobenius充当$+p$。下面是证明$\mathcal的本质满射性的两种方法{C} （p）$:

1） 如果$G:=\operatorname{Gal}（\overline{\mathbf{F}}_p/\mathbf{F}（F）_{p^2}）$和$E$是$\mathbf上的椭圆曲线{F}（F）_{p^2}$和$\overline{E}$是它对$\overrine{mathbf{F}}_{p^2]$的基扩展，然后是$H^1（G，\{pm1\}）下的非平凡元素对H^1的映像（G，\ operatorname{Aut}\overline{E}）$给出了$E$的二次扭曲（即使$p$是$2$或$3$，甚至$j$是$0$或$1728$）。将其应用于Frobenius$-p$的每个$E$，得到Frobenius$+p$的相应椭圆曲线。

2） 使用Honda-Tate理论（实际上，在本例中可以追溯到Deuring）在$\mathbf上找到一条超奇异椭圆曲线{F}（F）_{p^2}$与Frobenius$+p$，然后重复引理3.2.1的证明，通过可分等基因构造所有其他超奇异椭圆曲线的模型。

Answer 2

我不确定这里需要什么“功能”，但至少当$p\ge5$从幼稚的角度来看时，事情很简单。一次人们知道超奇异的$j$不变量椭圆曲线$E$位于$k=\mathbb{F}（F）_{p^2}$则有一条曲线$E'$在$k$上定义了与$E$相同的$j$不变量。最多$k$-同构有两个候选对于$E'$，它们是二次扭曲：一个有$（p+1）^2$点超过$k$，另一个有$（p-1）^2$点。等效$k$-Frobenius在其中一个上作为$-p$，另一个作为$+p$。

让我们为每个超奇异选择一个同构$\alpha:E\到E'$曲线，其中$E'$通过Frobenius$-p$在$k$上定义。给定一个isogeny$\phi:E_1\到E_2$，则有相应的isogeny$\phi'：E_1'\到E_2'$的乘积明显为平方。这个isogeny$\phi'$是在$k$上定义的，因为它与两侧等于$-p$的$k$-Frobenius通勤。

我们可以以完全相同的方式处理每个$E'$Frobenus$+p$并得出相同的结论。但从某种意义上说，选择$-p$更自然。如果$E$在中具有$j$-不变量$\mathbb美元{F} （p）$then$E'$将在$\mathbb上定义{F} （p）$如果我们选择$-p$选项，而不是$+p$选项。

当然，在$2$和$3$的特征中，事物是不同的，但在每种情况下，只有一个超奇异$j$不变量。

Answer 3

我认为罗宾·查普曼对朗书中的推论是正确的。例如，我们知道Deuring（参见Waterhouse“有限域上的Abelian变分”第4章定理4.1），F_{p^2}上有椭圆曲线（如果p不=1 mod 3），因此Frob_{p^2}+-p Frob_}+p^2=0，即Frob_{p^2}不等于p或-p。