加泰罗尼亚数的无穷乘积

Question

OEIS序列分析期间A179381号我用无穷乘积得到了以下表达式：

$$\prod_{k=1}^{\infty}\左（1-4^{-k}C_{k-1}\右）$$

N[乘积[1-加泰罗尼亚文数字[k-1]/4^k，{k，1，无限}]](* 0.582348 *)

如何以更高的精度计算这个无穷乘积？使用N[…，10]时，我收到一条错误消息

（*NIntegrate:：ncvb:NIntegrate在9个递归平分后未能收敛到规定的精度…*）

转换为无限和后，我将收到相同的错误消息

N[Exp[Sum[Log[1-CatalanNumber[k-1]/4^k]，{k，1，Infinity}]]，10]

有人知道如何计算更多的小数位吗？

Answer 1

可以通过总结产品中的术语日志来取得进展，

实验@NSum[Log[1-加泰罗尼亚数字[k-1]/4^k]，{k，1，无限}]

这本身就产生了与问题中相同的结果，0.582348此外，尝试通过意外Fourier转换在上面的评论中，他们并没有比之前更成功N产品然而，由于总和中的项接近零k个，这些项可以近似为

s=序列[Log[1-CatalanNumber[k-1]/4^k]，{k，无限，8}]//正常（*-17/（1024 k^5π）-3/（128 k^4π）-1/（32 k^3π）-25/（512 k^（7/2）平方[π]）-3/（32 k^（5/2）Sqrt[π]）-1/（4 k^（3/2）Sqrt[π]）*）

再加上许多更小的项（在实际计算中没有丢弃）。

比较秒summand在k==10 ^4显示出良好的一致性。

N[（对数[1-加泰罗尼亚数字[k-1]/4^k]-s）/。k->10^4，50](* -1.5905675495607351158866494466074940463334600411045*10^-37 *)

因此，使用此近似值对k>10^4.

suml=NSum[s，{k，10^4+1，无限}，工作精度->30，精度目标->16，方法->{NIntegrate，最大递归->25}](* -0.00282091270584364563 *)

较小值的总和k个原则上可以由NSum公司使用蛮力，但速度很慢。相反，使用

函数展开[目录编号[k-1]/4^k]（*伽马[-（1/2）+k]/（4平方[π]伽马[1+k]）*）

可以更快地进行总结。

总和=NSum[Log[1-伽马[-（1/2）+k]/（4平方[π]Gamma[1+k]）]，{k，1，10^4}，工作精度->30，精度目标->16](* -0.5378660936971350 *)

最后，

支出[suml+sums](* 0.58234803808391506 *)

准确度约为16位有效数字。虽然计算速度可能要慢得多，但可以通过类似的方式获得更高的精度。