对数性质、连续性和循环推理

Question

我对对数有疑问。预计会有一些答案，我知道一种“数学”方法是通过函数的属性来定义函数($f（xy）=f（x）+f（y）$)然后从那里建立起来。我认为这可能是一种合乎逻辑的方法，但这有损于我们对现象和描述它的数学工具的理解，并可能隐藏循环推理来证明我们如何定义事物，我的问题基本上归结为如何从基础（首先是一名高中生，然后是与微积分的联系）构建对数过程和从离散到连续的步骤（在连续函数的意义上）。

首先，从教育学的角度来看，我觉得对数是第一个可以批判性地引入连续性概念的时刻。我将说明这个问题：通常的表述是从指数来观察对数函数在对数本身是自然的有限情况下的性质($log_2（4*2）=log_2（4）+log_2（2）$)然后将其应用于任意数字。在引入非自然对数值时，我很难既激励又严谨。对于高中生，我将首先介绍我们可能对中间值和微积分感兴趣的图形方法和示例，首先让他们证明有理数的性质，然后在介绍自然对数时，我将使用$b^y美元$作为$e^{y\ln b}$.

我将感谢对可能建立这种联系的来源的任何引用（使用属性作为起点（给定），或者在仅对我们已经证明它们有效的一组数字使用属性后，遵循更具历史意义的方法来定义e），或者对更大画面联系的任何解释。

Answer 1

在我看来，当向高中生或任何以前从未见过对数的人介绍对数时，应该忘记尝试严格。对于这样的学生，我同意贾斯汀·斯凯克的回答。

如果一个人试图做到严格（比如在大学荣誉微积分或分析入门课程中），有不同的方法可以做到。实际上，我喜欢“错误的”演示：

1. 定义$\ln（x）=\int_1^x（1/t）dt$，并从这个公式推导出对数的所有常用性质。特别是，可微性和连续性很容易遵循微积分基本定理。

2. 定义$\exp（x）$作为的逆函数美元\ln（x）$，并导出$\exp美元$从相应的属性美元\ln$连续性和可微性则遵循关于反函数的标准事实。

3. 审查的定义$a^b美元$对于理性十亿美元$，并证明$a^b=\exp（b\ln a）$无论何时十亿美元$是理性的。受此激励，定义 $a^b美元$对于非理性十亿美元$作为$\exp（b\ln a）$.自$\exp美元$和美元\ln$是连续的，这个函数也是连续的。

4. 证明这一点$\exp（x）=e^x$对于某些数字美元$和任何实数x美元$.

我称之为“错误的方法”，因为我们认为指数运算比对数更容易理解。当然，“美元\ln$“不是大多数人考虑功能的主要方式美元^x$但是（a）事物的定义不一定与我们思考事物的方式相同，（b）我上面描述的方式非常干净，避免了任何潜在的循环，因为你已经定义了$\ln x美元$对于任何真正的积极因素x美元$ 之前你用它来定义十亿美元$对于非理性十亿美元$.

Answer 2

我的问题基本上归结为如何从基础（首先是一个高中生，然后是与微积分的联系）建立对数过程和从离散到连续的步骤（在连续函数的意义上）。。。当引入不自然的对数值[即非整数结果]时，我很难既激励又严格。

就我个人而言，我发现向学生介绍分数指数的概念更容易，即。$a^{b/c}=\sqrt[c]{a^b}$然后将它们引入对数，作为指数运算的反义词。

如果你想严格地做到这一点，你可以通过反函数来实现，这在任何高中代数课程中都是标准的。

对于高中生来说，我认为严格地将处理扩展到任意实数并不重要。

在一个相关的注意事项上，我总是发现当学生们看到乘除关系的类比时，他们会更容易理解：

• 是什么8美元\div 2$好吧，这是你要乘以的数字$2$通过获取8美元$

• 是什么$\log_2 8$嗯，这是$2$这给了你$8.$

Answer 3

我的问题基本上归结为如何从地面开始建造（首先是一名高中生

我同意贾斯汀·斯凯克（Justin Skycak）关于通过类比将对数表示为算术运算的观点。我认为这样做的一个很好的例子是Vi Hart在大约十年前发布的一段名为“我对对数的感觉”的YouTube视频。Vi Hart回到了数字线。

到达e的方式

我的观点是，除了几何（证明要求严格）之外，所有高中数学课程中的应用导向都有助于高中生为公众学习数学。我所在的普通数学教学法似乎将e作为一个有用的数字介绍给高中生，让他们在不断复利的应用环境中学习，然后在微积分环境中对其进行更严格的重新审视。这似乎行得通。

对数过程和从离散到连续的步骤（在连续函数的意义上）。

首先，从教育学的角度来看，我觉得对数是第一个可以批判性地引入连续性概念的时刻。首先，从教育学的角度来看，我觉得对数是第一个可以批判性地引入连续性概念的时刻。

哦哦。我不会相信你对此的感受。

从“离散复利公式”到“连续复利公式“的转变可能是引入连续性批判性思维的第一刻。但我当时不会这样做，当对数在后面首次引入时，或者当它们在高中微积分中再次被讨论时，我也不会这样做。

我相信，在高中之前，离散函数与连续函数的概念在现实世界中对大多数学生来说都是直观的。对数和连续性之间的联系对我来说似乎很脆弱。当一些东西对学生来说是直观的，但还不严格时，比如连续性，我不会通过使用对数之类的其他东西来破坏它。

在引入非自然对数值时，我很难既激励又严谨。

我再次同意贾斯汀·斯凯克的观点。讨论有理数就足够了，但不要在高中时担心这种情况下的实数。

Answer 4

就个人而言，虽然我没有合适的类能够在实践中尝试这一点，但我会通过他们（现已过时）的实际应用程序介绍对数。也就是说，在计算器出现之前的一段时间里，如何快速轻松地相乘？

我有一个计划好的顺序，让学生使用滑尺并解释想法（看第一行中的数字美元$，按相应的量移动第二行，请参见其中十亿美元$排队阅读ab美元$). 然后，我让他们填写一张表格，引导他们了解“他们可能会注意到的关于计算尺的一些事情”（也就是它的属性，但不能过早使用大词）。

一旦它们有了属性列表，我就提出了一个问题，即需要一个满足它们的函数，在类的前面，我们推导出这个函数满足的等式，例如 $f（xy）=f（x）f（y）$还有其他的。

这就是我对下一步该做什么有点模糊的地方。我认为最好的解决方法是给他们一些带对数的练习纸，直到他们熟悉为止，然后才画出与指数运算的平行线，即$$\text{对数}:\times\to+$$ $$\text｛exponents｝：+\to\times$$-并用它来证明这些是彼此的倒数。或者，您可以注意到$f美元$满足是指数的满足，并立即引入倒数的概念。