关于研究由一组元素组成的代数结构以及满足三个条件的定义明确的二进制运算的问题：结合性、恒等式和可逆性。
组由基集组成G美元$和二进制运算$\ast:G\乘以G\到G$，因此
- $（a\ast b）\ast c=a\ast（b\ast c）$对所有人来说G中的a、b、c美元$(结合性).
- 有一个身份或单位元素 $e\单位G$具有$e\ast a=a\ast e=a$对所有人来说$a\单位G$
- 对于每个元素$a\单位：G$有一个逆元素 美元'$这样的话$a\asta'=a'\asta=e$.
（一些作者包括第四个公理，称为关闭，表示美元\ ast$应在关闭G美元$(即，对于所有人$a，b\单位G$，我们有$a\ast b\in G$); 然而，通过声明美元\ ast$是上的二进制操作G美元$，这是隐含的。）
如果另外交换律 $a\ast b=b\ast a$对所有人来说$a，b\单位G$满意后，该组称为阿贝尔的或可交换的.
恒等式和逆式总是唯一确定的。
符号有两种主要变体：
- 在乘法记数法，操作表示为美元\cdot b$或者只是ab美元$，身份通常表示为$1$，和$a\单位：G$表示为$a^{-1}$.
- 对于阿贝尔群通常加法符号使用。这里，操作表示为a+b美元$，身份依据$0$和的倒数$a\单位：G$通过$-a美元$.
群论也可以看作是对称性的数学理论。
群论的历史根源包括对几何物体（如柏拉图立体）对称性的研究，以及对由埃瓦里斯特·伽罗瓦提出的多项式方程根的研究。
