高阶导数（$y^{（n）}$，$n\geq4$）的应用示例是什么？

Question

你能建议我们用高阶导数做一些有用的事情吗？

我的微积分和解析几何一班的一位同学问一些高阶导数（例如，（$y^{（n）}$，$n\geq4$））的应用可能是什么。我们的老师（硕士级教员）对此一无所知。这让我好奇。。。

这个问题不需要一个严格的例子，只需要一个说明性的概念。

谢谢。

Answer 1

如果$y（t）$表示时间$t$的位置，则：

• 一阶导数$y'（t）$表示时间$t$的速度。
• 第二个导数$y''（t）$表示时间$t$的加速度。
• 第三个导数$y“”（t）$表示猛拉或颠簸time$t$是工程和运动控制中的一个重要量
• 第四个导数$y^{（4）}（t）$表示跳动时间$t$；振动也用于研究运动和宇宙状态方程。

位置的五阶和六阶导数在一些应用/理论物理研究中也很重要，但它们并没有被普遍接受的名称。

你也可以看到这篇文章摘自《美国国家科学院院刊》讨论了使用五阶导数和曲线拟合进行DNA分析和群体匹配。

高阶导数也用于使用泰勒多项式逼近函数，这在需要一定精度时很有用。

Answer 2

这个欧拉-伯努利方程它描述了梁的挠度和施加的荷载之间的关系，涉及到一个四阶导数。

Answer 3

对于一个日常的答案，而不是一个数学公式：当你驾驶汽车时，方向盘和油门的位置决定了汽车整体的加速度（即汽车位置的二阶导数）。因此，当方向盘或油门受到加速度时，加速度转化为汽车位置的四阶导数。

Answer 4

有时我们想在某个点$x=a$周围画一个函数的草图，但该函数在那一点上非常“平坦”——在我们计算出最初的几个导数之后，我们得到$f（a）=f'（a）=f^{（3）}（a）=1f^{（4）}（x-a）^5$$

靠近那一点。因此，如果$5$-th导数在$a$处为正，则形状近似于原点处的$x^5$，如果导数为负，则形状类似于原点处$-x^5$。

当这种情况出现时，我能想到的一个例子是研究微分方程平衡点的稳定性。平衡点的稳定性取决于$x=a$附近的行为，这部分取决于在平衡点评估的第一个非零导数的符号。

Answer 5

另一个答案说：

第三个导数$y“”（t）$表示时间t时的急速或颠簸，这是工程和运动控制中的一个重要量

请记住，运动控制机器是由差分方程控制的，这些差分方程只能大致近似于$y（t）$、$y'（t）@、$y''（t）#和$y''。但是，任何将各种阶导数与与现实世界接口的因果过程联系起来的应用程序都是如此。