这里有一个非常具体这个问题可以用加法和乘法的$p$-adic连续性来解释。我们甚至不需要补全：问题完全发生在有理数中，在任何意义上都不是一个假的问题。
当$r$不一定是整数时，我们可以形成二项式系数$\binom{r}{n}$，这很重要，因为它们出现在微积分中$（1+x）^r$的幂级数系数中。他们的公式为$n \geq 1$$$\binom{r}{n}=\frac{r（r-1）\cdots（r-n+1）}{n！}。$$如果您查看$\sqrt{1+x}$和$\sqart[3]{1+x}$的展开式，对应于$r=1/2$和$r=1/3$，则该系列的开头为$$1+\压裂｛1｝{2} x个-\压裂{1}{8} x个^2+\压裂{1}{16} x个^3-\压裂{5}｛128｝x^4+\压裂{7}{256}x^5+\cd个$$和$$1+\压裂{1}{3} x个-\压裂{1}{9} x个^2+\压裂{5}{81}x^3-\压裂{10}{243}x^4+\压裂｛22｝{729}x^5+\cd个$$令人惊讶的是，分母在第一种情况下完全是2的幂，在第二种情况下是3的幂。想想看：$\binom{1/3}{5}$涉及到除以$5！$，但这2个和5个因素相互抵消。作为一个更极端的例子，$\binom{-3/22}{7}=-\frac{1071892575}{39909726208}$和$3990972.6208=2^{11}11^7$. 尽管$\binom{-3/22}{7}$的定义涉及到除以$7！$，分母中幸存的素数似乎与$7！$无关以及与$-3/22$的分母有关的一切。
声明：对于$n\geq1$和非零有理$r$，如果质数$p$是$\binom{r}{n}$的分母，那么$p$就是$r$的分分母。
证据：我们展示了对立面。如果$p$不在$r$的分母中，那么$|r|p\leq1$的分分母是$p$的任意幂的可逆模，因此$r$是正整数的$p$-adic极限，例如$r=\lim_{k\rightarrow\infty}a_k$和$a_k\在{\mathbf Z}^+$中。这是$p$-adic限制。通过加法和乘法（和除法）的$p$-adic连续性，我们得到了$\binom{r}{n}=\lim_{k\rightarrow\infty}\binom}a_k}{n{$，另一个$p$-adic极限。通过组合数学，我们知道$\binom{a_k}{n}$是一个正整数，所以$|\binom{a_k}{n}|_p\leq 1$。${\mathbfQ}$上的$p$-adic绝对值是$p$-基本连续的，因此$|\binom{r}{n}|_p=\lim_{k\rightarrow\infty}|\binom{a_k}{n{|_p\leq1$。因此$p$不在$\binom｛r｝｛n｝$的分母中。量化宽松政策
特殊情况$r=1/2$可以用加泰罗尼亚数字来解释：$\binom{1/2}{n}=（-1）^{n-1}C_{n-1}/2^{2n-1}$，其中$C_{n-1{$是第$（n-1）$个加泰罗尼亚数字（正整数）。因此，$\binom{1/2}{n}$的分母是2的幂。对于一般情况，我不知道有什么论据可以解释为什么$\binom{r}{n}$分母中的素数必须是$r$分母里的素数，就像这个$p$-adic方法那样简洁。
相反的说法也是正确的：对于$n\geq1$和非零有理$r$，如果质数$p$是$r$的分母，那么$p$就是$\binom{r}{n}$的分子。也就是说，如果$|r|_p>1$，那么$|\binom｛r｝｛n｝|_p>1$。更准确地说，如果$|r|_p>1$，则$|\binom{r}{n}|_p\geq|r|p^n$，因此实际上$|\biom{r{n}| _p\rightarrow\infty$为$n\rightarror\infty$。让我们把它作为练习。（$\sqrt{1+x}$和$\sqrt[3]{1+x}$的系数数据表明，如果$|r|p>1$，序列$|\binom{r}{n}|p$可能是单调递增的，这也可以通过查看比率$\binom}{n+1}/\binomneneneep{n}$的$p$-adic绝对值来证明。）特别是对于$n\geq1$，$\binom{1/2}的分母{n} $是$2$的幂，而不是$1$。
