表示为两个平方和

Question

最近，我一直在想，自然数可以用两种不同的方式写成两个互质正整数的平方和，顺序无关，或者借助符号，

找到所有自然数$a，b，c，d，n$，这样$$n=a^{2}+b^{2{=c^{2neneneep+d^{2$$，其中gcd$（a.b）$$=$gcd$$（c，d）$$=1$和$a\ltc\ltd\ltb$。

我的小进步：$n$的主分解必须看起来像$2^｛a_1｝p_2^{a_2}。。。p_r^{a_r}$其中$a_1\in\{0,1\}$和$p_i$是$4k+1$形式的素数。
证明：假设在$n$的素数分解中存在一个素数$p\equiv3\pmod4$，那么我们将得到$a^2+b^2\equiv0\pmodp$。但是，我们会得到$a\equivb\equiv 0\pmodp$，它与gcd$（a，b）$$=1$相矛盾（对于，如果$a\not\equiv-0\pmod p$，那么$（a、p）=1$，因此$存在c$，因此$ac\equiV1\pmodp$，我们可以从中看到$（ac）^2+。
此外，如果$4|n$，那么gcd$（a，b）$$=1$迫使我们得出结论：$a$和$b$都是奇数，但是$0\equiva^2+b^2\equiv2\pmod4$。矛盾！

Answer 1

我们对这个问题的一般化给出了答案，但没有证据。最简单的证明使用了高斯整数因式分解的事实。

注意，如果$n$可以被$4$整除或被$4k+3$形式的素数整除，则$n$具有不表示为相对素数平方和。所以我们可以假设$n$的形式是$n=p_1^{a1}p2^{a_2}\cdots p_s^{a_s}$或$n=2p_1^{a1}p2^｛a_2｝\cdots p_s ^｛a_s｝$。其中$pi$是不同的素数，所有的形式都是$4k+1$。

让$n\gt 2$。然后$n$作为两个相对素数平方和的本质不同表示的数量是$2^{s-1}$。特别是，当且仅当$s=2$时，$n$正好有$2$本质上不同的表示，作为两个相对素数平方的和。

Answer 2

我们有$$65=1^2+8^2=4^2+7^2.$$我选择这个数字是因为它是两个不同素数（$5$和$13$）的乘积，每个素数都等于$1$mod$4$（因此每个素数都可以表示为两个不同平方的和）；事实上，65美元是最小的数字。

你也可以看到85美元=5\cdot 17=2^2+9^2=6^2+7^2$$$$221=13\cdot 17=5^2+14^2=10^2+11^2$$我还没有完全考虑过其他哪些数字可以用这种方式表示，但我很确定一些简单的操作可以用费马的两个平方定理(维基百科)将显示两个不同素数的乘积，每个素数与$1$mod$4$同余，都可以这样表示。（我现在必须去上课，所以我现在不能自己做那些操作。）