费曼物理讲座的数学等价物？

Question

我正在慢慢阅读费曼的物理讲座，我发现自己在想，有没有一本（或多本）类似的数学书？我的意思是，通过大刀阔斧的动作、对直觉的呼吁以及对历史发展的现代观点的强调，给出了一个很好的数学方法。

物理讲座给我留下深刻印象的是它的概念导向。很容易理解，我不需要手边的纸和笔来处理细节，但我也发现有必要定期停下来思考他的想法和例子。从内容上讲，它还没有达到微积分书的水平。我的印象是，它涵盖了构成物理本科教育的大部分内容。当然，找一本书来涵盖整个本科数学课程可能是不可能的！我在寻找同样的风格，不一定是全面性。

Answer 1

普林斯顿伴侣在我看来，这是一种尝试，旨在实现深度、准确性、内容、动机和上下文的类似混合。然而，由于数学是一门不同的学科，这是一本非常不同的书。

Answer 2

我倾向于同意亚当的观点，大多数数学的规模和难度都超出了基本微积分的水平，这使得像这样的书几乎不可能写成。我认为有史以来最接近你所建议的那种书的人是科洛莫格罗夫、亚历山德罗夫和拉瓦涅夫数学：内容、方法和意义本书共三卷，原为俄罗斯版，旨在为没有太多背景的学生提供所有数学领域的概述，只需要一些高中代数、几何和微积分。诚然，尽管在20世纪60年代的苏联，这些学生中的大多数背景比现在美国的大多数本科生都强！它目前有多佛平装本，我想你会发现它值得一看。

Answer 3

对我来说，弗拉基米尔·阿诺德的写作风格有时与费曼的风格相似。例如，阿诺德的常微分方程可能会吸引那些欣赏费曼演讲的人。我还可以推荐以下书籍：

• V.I.Arnold，经典力学的数学方法（数学研究生课程）
• V.I.Arnold，偏微分方程讲座
• V.I.Arnold，A.Avez，经典力学的遍历问题（高级经典书籍）

Answer 4

特里斯坦·李约瑟的视觉复杂分析有时被比作费曼的演讲。

“……它可以与费曼在物理课上的讲座相媲美。它在每一点上都会问‘为什么’，并找到一个漂亮的直观答案……我相信这本书可以让每个学生理解并享受复杂的分析。如果它的方法能更广泛地应用于教学，数学将成为一门繁荣的学科”——欧洲数学学会时事通讯

它的范围比费曼更具体。但它仍然是我读过的最好的数学教科书。

Answer 5

我很惊讶没有人提到理查德·库兰特的书《数学是什么？》。

Answer 6

乔·哈里斯（Joe Harris）的教科书经常让我想起费曼（Feynman）的风格，因为它们经常省略细节，可能会让普通读者认为他知道的比他多，但却从专家的角度出色地传达了理论中最重要的观点。我在想表征理论,曲线模量和代数几何：第一门课程。（由于这是褒贬不一的，让我补充一点，哈里斯和费曼是我最喜欢的作者之一；只是读者需要警惕填补空白。）

然而，这些书中没有一本试图对所有数学进行概述。

Answer 7

彭罗斯《通向现实之路》的前16章可能相当接近。他从分数开始，学习流形微积分、群论、复分析、黎曼几何、李代数等，总共约350页！如果他能把剩下的700页花在数学上就好了。这可以与费曼的演讲相媲美。。。

另一本（风格相似，但不受欢迎）是拉尔斯·加丁（Lars Garding）的一本小书《数学的邂逅》（Encounter with Mathematics）——以一种令人愉快的方式描述了相当高级的主题——在如此流行的枯燥的“定义、定理、证明”方法之后，这是一个很好的解脱。

Answer 8

虽然买起来很贵（因为它已经绝版了），但也许你可以借用麦克莱恩的数学：形式与功能从图书馆。我发现这是一个关于数学和你们可能见过的主题之间相互联系的美丽概述。

Answer 9

这真的应该是一个评论，但我没有这个声誉。我认为不存在这样的书。事实上，我认为这样的书是不可能的。这有两个原因。

1. 数学，即使是在本科生水平上，也比物理大得多。这并不是说任何人都不可能理解本科生所学的一切——我当然觉得在我的大学里教授任何本科生级别的课程都很舒服。相反，有大量的主题（微积分、几何、线性代数、抽象代数、拓扑学、偏微分方程、组合学、概率等），每个主题都有自己的思维模式。在你的数学生活中的某个时刻，你会开始将它们视为一门学科，但我认为没有一种方法可以在没有主题片段的情况下教给本科生基础材料。如果一本书试图描述所有这些内容，那么它就会显得过于脱节和不连贯。

2. 你可以在不弄脏双手的情况下学习很多物理知识（通过非正式的思维实验、简单的计算等）。这基本上就是Feynmann书中的模式——这都是直觉，（几乎）没有细节。然而，数学不是这样的。如果不认真对待细节，你就无法学习数学。我想你可以讲一个有趣的故事，但学生们什么也学不到。

Answer 10

如果你正在寻找一种非传统的数学科目，那么我推荐Graham，Knuth&Patashnik的《具体数学》[ISBN-13:978-0201558029]，这本书影响相当深远，也许还有Conway的《论数字与游戏》[ISBN-13:978-1568811277]它特别关注数字和类数字实体的理论。这两个都是非常“基本”的，从第一原则的意义上来说。

另一方面，如果你在寻找广度的平均值，那么考虑一下魏斯坦的巨大词典《CRC简明数学百科全书》[ISBN-13:978-1584883470]（也在线http://mathworld.wolfram.com/; 新的短版即将推出），这是非常好的“接触”，但并不真正适合封面阅读。

另一个选项是“NIST数学函数手册”[ISBN-13:978-0521192255]或“NIST数字数学函数库”，可在纸上和网上找到http://dlmf.nist.gov/显然，这项工作主要涉及各种特殊函数，包括三角函数和组合函数。

还有各种各样的数学手册，它们按主题安排材料，但很少讨论。我对其中哪一个是最好的没有很强的看法，因为各种选择都有其优点，但也许Bronshtein&Semendyayev[ISBN-13:978-3540621300]的选择范围相对较大，包含的解释性文本比手册中的典型文本多得多。

Answer 11

我不知道这些是不是用英语写的，但在西班牙（和俄罗斯）有一本URRS社论集，名为“马特马提卡莱奇奥内斯“俄罗斯数学家V.Boss的（数学课），以一种全新的方式涵盖了许多先进和现代数学，没有深入到特定的细节，而是更多地集中在每个数学主题及其结构的直觉上——类似于给出关于数学主题的观点。

Answer 12

这是一个小的开始，但在我看来（有点不确定）太棒了。这是菲尔兹奖得主沃恩·琼斯（Vaughan Jones）提供的一门真实分析课程的课堂讲稿。它们优雅、自足，并且由一位匿名学生漂亮地打印出来。以下是下载它们的链接：

http://sites.google.com/site/math104sp2011/lecture-notes

Answer 13

我推荐斯蒂芬·休森的《数学桥》；它的语气与费曼的演讲相似。虽然它可能不够全面（500页对1500页），但休森设法涵盖了一系列令人印象深刻的主题（所有本科生数学课程的“亮点”）。

他对主要概念的解释是我读过的最好的，它很好地让读者了解了数学的主要领域是什么以及它们之间的关系。

Answer 14

I.M Gelfand的书关于三角函数、代数、函数和图以及变分法（等等），可以与费曼讲座相媲美。他甚至在书的序言中陈述了自己写一本像费曼那样的书的努力。我强烈建议书。你可以在亚马逊对于用户评论.

Answer 15

真不敢相信还没有人提到乔治·波利亚的无与伦比如何解决它与费曼非常不同，因为它只涵盖了极少数（如果有的话）数学的特定子领域，但它非常相似，因为它试图让学生了解如何方法纪律，并建立他们的直觉，以便他们能够解决该领域的问题。

Answer 16

我想提及两种资源：

阿兰·肯宁顿（Alan U.Kennington）免费提供的《微分几何重建》和弗雷德里克·舒勒（Fredric Schuler）的视频讲座系列，名为“理论物理的几何解剖”。

Answer 17

费利克斯·克莱恩的《高等初等数学》——棒极了。

https://link.springer.com/book/10.1007/978-3662-49442-4

第三卷最近被翻译成了英语，它也涵盖了微分几何。

许多伟大的数学家（包括阿诺尔）从这三本书中学习了大量数学知识。

Answer 18

“约翰·贝兹的数学讲座”你可以在约翰·贝兹的笔记中找到类似的东西博客作者相同。这是一种非常好且轻松的方法。但在某些方面仍很艰难。它要求读者具有一定的数学成熟度。类似于费曼的物理讲座。