概率对称性的困惑

Question

这可能是一个简单的问题，但我仍然无法理解：

考虑一副52张牌的牌。一个人随机拿了一张卡片，没有更换，然后第二个人拿了一个卡片。第一个人的卡的价值比第二个人的大的概率是多少？

解决方案中提出的论点是，通过对称性，答案应等于0.5。然而，我仍然觉得这有点难以理解，因为我觉得在没有替换的情况下做这个实验时，留给第二个人的卡片数量少于第一个人，所以情况不同。

为什么对称可以在这里应用？

谢谢！

Answer 1

对称性不是在将牌发给玩家1和玩家2时发生的事情之间，而是在玩家1的牌越高的情况和玩家2的牌越高的情况之间。

考虑一个简单的例子，其中只有4张编号为1到4的卡。玩家1抽完牌后，我们进入了四个可能的宇宙之一：

• 玩家1的牌是1，玩家2有100%的机会获得更高的牌。

• 球员1的牌是2，球员2有67%的机会获得更高的牌。

• 球员1的牌是3，球员2有33%的机会获得更高的牌。

• 球员1的牌是4，球员2有0%的机会得到更高的牌。

请注意，在某种意义上，第一种和第四种情况是彼此的镜像，第二种和第三种情况也是如此。换言之，在任何情况下，玩家2都有一个美元$抽到比球员1更高牌的机会，还有另一种情况，球员2有1美元-便士$机会。因此，如果我们写下玩家2的牌更高的总体概率，它看起来就像

$$P（P2>P1）=压裂{1}{n}P_1+\压裂{1{n}P2+\ldots+\压裂$$

但请注意，如果我们将情况颠倒过来，考虑到玩家1的牌较高的概率，那么我们将得到如下表达式

$$P（P1>P2）=\压裂{1}{n}（1-P_1）+\压裂{1'{n}（1-P_2）+\ldots+\压裂}{1}{n}P2+\压裂$$

它有所有相同的术语，只是写的顺序相反。这意味着这两个表达式将相等，即。$P（P1>P2）=P（P2>P1）$这就是我们得到对称性论证的地方——我们得到了相同的整体计算集，而不管我们是从一个方向还是从另一个方向看，结果是这两个值相等。

根据总概率规则，我们有$P（P1>P2）+P（P1=P2）+P（P1<P2）=1$，我们可以很容易地解决$P（P2>P1）=\压裂{1}{2}（1-P（P1=P2））$或者，如果我们知道联系是不可能的，$P（P2>P1）=0.5$.

Answer 2

有52美元乘以51=2652$玩家1抽牌的可能性相同无需更换然后玩家2抽了一张不同的牌。

（本来会有的52美元乘以52=2704$可能性带替换件.)

玩家2的牌排名低于玩家1的牌，与玩家1的卡排名高于玩家1的一样，因为在每种情况下，玩家1都有牌X美元$玩家2有牌Y美元$具有$X>Y$，有一个对应的情况，玩家1有卡Y美元$玩家2有牌X美元$和$Y<X$，反之亦然。

（可以提出相同的论点带替换件.)

所以这两个无需更换概率是相等的。因此，它们都是美元\frac12$如果没有同等级别的卡，或者两者都小于美元\frac12$如果你的排名系统允许不同级别的牌。

（有什么不同带替换件是相等排名的概率较高$2704-2652=52$ 带替换件可能是同一张卡片被抽两次。）

Answer 3

我们洗牌，给P1第一张牌，给P2第二张牌。

甲板的每一个排列都是同样可能的。因此，对于每对牌A、B，前两张牌按顺序排列（A、B）的概率与（B、A）的概率相同。

因此，对于任何特定情况，例如P1获得卡A，P2获得B对称的（B，A）的情况同样可能发生。

例如，在每一个P1获胜的案例中，都有一个对称，等概率如果牌被反转，P2获胜。

Answer 4

在这里，对称性不是指第一个玩家对第二个玩家，而是指赢与输。这个问题似乎是假设两名球员不存在平局的情况。根据这个假设，第一个玩家要么赢要么输。在你的脑海中，你可能会想象如何计算第一个玩家获胜的概率，以及第一个玩家失败的概率。要计算这两个值中的任何一个，您可以按如下方式进行处理：

总和{（第一个玩家选择每张牌的概率）*（第二个玩家为第一个玩家选择某些牌的概率）}

然后你会意识到，用数字来确定获胜概率的实际计算应该与失败概率的计算相同！这类似于在计算中交换数字的位置，例如从1到10的求和与从10到1的求和。这就是为什么它被认为是对称的。因此，获胜的概率等于失败的概率，两者之和应为1，因为没有其他结果。因此，每个概率为0.5。

Answer 5

我同意这个解决方案是错误的。假设“价值”是指标准牌组52张牌中的“等级”，每个等级有4张副本，因此平局的几率为正，没有人获胜。例如，这是扑克游戏中常见的问题（称为“分裂”）。

参见维基百科：标准52卡牌组：组成

具体来说，选择了第一张牌后，同一等级的牌组中还剩下3张牌，因此平局的几率为3/51~6%。通过对称性，我们可以合法地在两个玩家之间分割剩余概率，即大约94%/2=47%的任一玩家获胜。

Answer 6

与其他人的回答相反是这两个运动员（我们叫他们爱丽丝和鲍勃）之间的对称性。即使不是很明显，抽到第一张或第二张牌也不会改变这个游戏！

让我们记下爱丽丝画的卡片X和鲍勃画的卡片Y。当我们查看随机变量Z=（X，Y）时，我们注意到它是在所有有序对之间均匀选择的（所有有序对都具有概率$\压裂{1}{52*51}$待选择）。但是，通过让Bob先选择，Alice再选择而获得的随机变量Z'=（Y，X）也在所有有序对之间统一选择。Z和Z'实际上遵循相同的定律，完全决定了游戏的问题，所以游戏在Alice和Bob之间是对称的。

要继续在这种不明显的对称性上建立直觉，你可以试着说服自己，在没有替换的情况下选择第二张（甚至第三张或第四张）牌仍然会给你一张统一选择的随机牌。

运动员之间的对称性表明，爱丽丝和鲍勃获胜的概率相同。此外，如果且仅当对方输了，他们才赢，所以他们也有输的概率P。对称性还表明它们具有相同的绘制概率。小心，如果可能平局，获胜的概率不会是0.5！

顺便说一句，即使赢牌和输牌之间没有对称性，这个论点仍然成立（例如，如果你在牌组中添加2个小丑）。