对称性不是在将牌发给玩家1和玩家2时发生的事情之间,而是在玩家1的牌越高的情况和玩家2的牌越高的情况之间。
考虑一个简单的例子,其中只有4张编号为1到4的卡。玩家1抽完牌后,我们进入了四个可能的宇宙之一:
玩家1的牌是1,玩家2有100%的机会获得更高的牌。
球员1的牌是2,球员2有67%的机会获得更高的牌。
球员1的牌是3,球员2有33%的机会获得更高的牌。
球员1的牌是4,球员2有0%的机会得到更高的牌。
请注意,在某种意义上,第一种和第四种情况是彼此的镜像,第二种和第三种情况也是如此。换言之,在任何情况下,玩家2都有一个美元$抽到比球员1更高牌的机会,还有另一种情况,球员2有1美元-便士$机会。因此,如果我们写下玩家2的牌更高的总体概率,它看起来就像
$$P(P2>P1)=压裂{1}{n}P_1+\压裂{1{n}P2+\ldots+\压裂$$
但请注意,如果我们将情况颠倒过来,考虑到玩家1的牌较高的概率,那么我们将得到如下表达式
$$P(P1>P2)=\压裂{1}{n}(1-P_1)+\压裂{1'{n}(1-P_2)+\ldots+\压裂}{1}{n}P2+\压裂$$
它有所有相同的术语,只是写的顺序相反。这意味着这两个表达式将相等,即。$P(P1>P2)=P(P2>P1)$这就是我们得到对称性论证的地方——我们得到了相同的整体计算集,而不管我们是从一个方向还是从另一个方向看,结果是这两个值相等。
根据总概率规则,我们有$P(P1>P2)+P(P1=P2)+P(P1<P2)=1$,我们可以很容易地解决$P(P2>P1)=\压裂{1}{2}(1-P(P1=P2))$或者,如果我们知道联系是不可能的,$P(P2>P1)=0.5$.