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$\开始组$

假设我们想知道一个概率，当我们无限次掷骰子时，我们经常得到6。直觉上，答案是$1$，但我们如何构造概率空间来对此进行建模？

样本空间应该是$\Omega=\{1，\dots，6\}^{\mathbb N}$，即取值的序列集$\{1，\点，6\}$。我们可以简单地采取$\mathcal F美元$作为动力装置$\欧米茄$并定义一个合理的概率测度$\mathbb P$（如果存在此度量，则必须将概率零分配给$\欧米茄$)? 我们将如何构建$\mathbb P$拥有我们想要的属性（例如，转鼓之间的独立性）？

$\端组$
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  • 2
    $\开始组$ 把它想象成均匀分布的$[0,1]$。地图是“创建与投掷序列相对应的基数$6$十进制，假装面部是$\{0，\cdots5\}$。”请参见这个问题相关副本。 $\端组$
    – 卢鲁
    评论 6月26日15:25
  • $\开始组$ 这足以证明我们最终抛出6美元的概率是1美元。然后，我们可以一次又一次地重复这个实验，并且总是会取得成功。因此，无限多个六的概率必须是$1$。 $\端组$
    – 彼得
    评论 6月26日15:34
  • $\开始组$ @鲁鲁谢谢你，这很有帮助。我想如果我们坚持使用$\{1，\dots，6\}^{\mathbbN}$作为样本空间，我们可以适当地构造双射$f:[0，1]\to\{1、\dots、6\}^{\MathbbN{$，然后取$\mathcalF=f（\mathcal B（[0，1'））$和$\mathbb P（A）=\mu（f^{-1}（A））$，其中$\matHCalB$是Borel$\sigma$-代数和$\mu$是勒贝格量度。 $\端组$
    – 杨朝欣
    评论 6月26日15:47
  • 1
    $\开始组$ 没错。当然，在实践中，人们通常会看到有极限的有限序列。 $\端组$
    – 卢鲁
    评论 6月26日15:49
  • 1
    $\开始组$ 可以肯定的是：在实践中，我们的意思是“给定任何$（M，\epsilon）$，都存在一个$N$，这样，如果$N≥N$，那么长度为$N$的抛掷序列显示少于$M$的期望面的概率为$<\epsilon$。”这很容易显示出来。 $\端组$
    – 卢鲁
    评论 6月26日16:29

1答案1

重置为默认值
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$\开始组$

使用碱基的技巧-$6$上的扩展$[0, 1]$评论中的内容很好，但你可能会发现它有点不雅观，因为毕竟问题陈述没有提到实数，还有一个非唯一性问题（这无关紧要，因为它不影响任何事情的概率-我们只有“非唯一性到一组测度零”-但我认为这在概念上有点不令人满意）。

或者有一个概率测度可数乘积的一般构造，这在本例中相对简单。可测量集合被视为圆柱美元\西格玛$-代数这只是说可测量的集合是由“第一个”事件生成的n美元$掷骰子有这些精确的值。“概率度量是由它对这些事件的影响决定的，这些概率应该是显而易见的（指定第一个n美元$掷骰子给出一个概率事件$\压裂{1}{6^n}$). 这一措施可以被视为哈尔测量关于有限循环群无穷多副本的乘积$\mathbb{Z}/6$.

如果您认为这一切都解决了，那么所需的语句后面是第二Borel-Cantelli引理.

$\端组$
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  • 三
    $\开始组$ 此外，我们不能将可测集视为完全幂集，因为这会遇到与Vitali集的$\mathbb{R}$完全相同的问题，以此类推。 $\端组$
    – 乔楚园
    评论 6月26日16:33

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