为什么在定义了这些公理之后，我们还不能定义任意大的集合？（陶渊明分析一）

Question

在Tao的分析I我很困惑，为什么他说在定义了以下两个公理之后，我们没有定义任意大集合的严格性：

公理3.4如果美元$是一个对象，则存在一个集合$\{a\}$其唯一元素是美元$，即针对每个对象美元$，我们有$y\在\{a\}中$当且仅当$y=年$

公理3.5（成对结合）。给定任意两组A、B美元$，存在一个集合$A\杯B$，被称为美元$和十亿美元$，由属于的所有元素组成美元$或十亿美元$或两者兼而有之。换句话说，对于任何对象x美元$,$$A\cup B\Longleftrightarrow中的x\（A\text{中的x\or B中的}x\）。$$

（在此之前，陶提到了扩张公理，并公理化了空集的存在）。

有了这些公理，我们似乎可以定义具有n美元$对象表示任何自然数-我们只应用此并集操作n美元$次。然而，在这些公理都被定义之后，陶（在表面上承认这一点后）表示情况并非如此：

这个公理允许我们定义三元组、四元组等：如果a、b、c美元$是三个对象，我们定义$\｛a，b，c\｝：=\｛a \｝\ cup \｛b \｝\ cup \｛c \｝$; 如果a、b、c、d美元$是四个对象，然后我们定义$\{a，b，c，d\}：=\{a\}\cup\{b\}\cup\{c\}\cup\{d\}$等等。另一方面，我们还不能定义由n美元$任意给定自然数的对象n美元$; 这需要迭代上述构造”n美元$时代”，但概念n美元$-折叠迭代尚未严格定义。出于类似的原因，我们还不能定义由无限多个对象组成的集，因为这需要无限频繁地迭代两两并集的公理，目前尚不清楚能否严格做到这一点。稍后，我们将介绍集合论的其他公理，它们允许我们构造任意大的甚至无限的集合。

道首先似乎是在说我们可以构造任意大的集合，就像在他的第一句中说“等等”一样，他似乎是在允许级数通过某种归纳级数变得任意大。然而，他接着说我们还不能这样做，这让我困惑。我不明白为什么我们需要更多的公理来定义这些。这些是他在这之后介绍的公理（我不明白为什么我们需要它们中的任何一个来定义任意大的集）：

公理3.6（规范公理）。让美元$是一组，每个$x\单位：A$，让P美元（x）$是与…有关的财产x美元$（即，对于每个$x\以A、P（x）表示$要么是正确的陈述，要么是错误的陈述）。然后存在一个集合，称为A:P（x）中的$\{x\$是真的$\}$（或者简单地说A:P（x）中的$\{x\}$简而言之），其元素正是元素x美元$在里面美元$为此P美元（x）$是真的。

公理3.7（替换）。让美元$成为一组。对于任何对象$x\单位：A$和任何对象美元$，假设我们有一个声明$P（x，y）$属于x美元$和美元$，这样每个$x\单位：A$最多有一个美元$为此$P（x，y）$是真的。那么就存在一个集合$\{y:P（x，y）$对某些人来说是真的A\}中的$x\$，对于任何对象$z（美元）$,$$\开始{对齐}z\in\{y&：P（x，y）\text{对于某些}x\inA\}是真的\\&\Longleftrightarrow P（x，z）\text{对于A中的某些}x\为true。\结束{对齐}$$

公理3.8（无限）。存在集合$\mathbf{N}$，其元素称为自然数，以及中的对象0$\mathbf{N}$和一个对象n美元++$分配给每个自然数$n\in\mathbf{n}$这样，皮亚诺公理（公理2.1-2.5）就成立了。

（Axiom之前$3.8$在前一章中，道包含了一个假设，标记为非正式，即“存在一个数字系统$\mathbf{N}$，其元素我们将调用自然数，而公理2.1–2.5【皮亚诺公理】是正确的”，这让我对这个公理的必要性感到困惑——我们不是正式使用这个假设吗？）

公理3.10（规律性）。如果美元$是非空集，则至少有一个元素x美元$属于美元$它不是集合，或者与美元$.

公理3.11（功率集公理）。让X美元$和Y美元$设置。然后存在一个集合，表示为$Y^X（美元）$，它包含中的所有函数X美元$到Y美元$，因此$$f\in Y^X\Longleftrightarrow（f\text{是一个具有域}X\text{和余域}Y的函数）\text{.}$$

公理3.12（工会）。让美元$是一个集合，其所有元素本身都是集合。那么就存在一个集合$\大杯A$其元素正是那些作为元素元素的对象美元$，因此对于所有对象x美元$ $$x\in\bigcup A\Longleftrightarrow（x\in S\text{用于某些}S\in A）\text{.}$$

我不明白为什么我们需要更多的公理，而不是陶渊明说我们需要更多公理来定义任意大的集合。为什么我们不能只用公理3.4和3.5来构造任意大的集？

编辑：关于允许我们定义任意大集合的新公理，我还有两件事让我感到困惑：

1. 为什么即使有了公理，我们也可以定义任意大的集合&我们还没有定义集合的基数，也没有定义集合大小与自然数之间的关联；我们还没有证明满足Peano公理的系统可以描述集合中元素的数量。为什么公理3.8允许我们这样做，并突然归纳集合中的元素数？我们需要展示$\mathbf{N}$可以先描述集合中元素的数量，对吗？

2. @Henry和@MichaelCarey说我们可以构造大的有限数集，例如具有一百万个元素的集，但不能任意地构造大的集，我想我们可以只构造一个通用的有限数n美元$它是任意数字的占位符n美元$同样，我们做任何特定的数字，从而构造一个任意大的集合；但@MichaelCarey说，我们需要一个公理来将特定有限数逻辑的使用推广到通用数n美元$-这里哪条公理能做到这一点，为什么我们需要一条公理来做到这一点——这似乎只是常识？

Answer 1

请注意以下两者之间的差异：

• 这个外部的语句“n美元$，我们可以证明有一个集合n美元$元素”；
• 这个内部的声明“我们可以证明n美元$，有一套n美元$元素”。

归纳原理/公理的要点是内化第一句话。

Answer 2

扪心自问：你能写下一个证明吗$1$元素？我确信答案是肯定的。好吧，那就把证据写下来。。。。。。

现在你已经做完了，问问自己：你能写下一个证明，证明存在一个集合吗$2$元素？我确信答案是肯定的。那么，好吧，写下来那个证明。。。。。。

下一步：你能写下一个证明，证明存在一个集合吗$3$元素？我相信你可以，我会等你写下证明。。。。

好吧，那么，让我们继续这样做，直到明天中午？可以？然后我必须去参加一个会议。我相信你会得到一个很大的数字。

哦？这很无聊吗？好吧，好吧，这里有一个非常不同的工作给你：写下每个自然数的证明n美元$，存在具有的集合n美元$元素。

Answer 3

回想一下，公理确切地告诉我们什么是集合：基于公理的有限证明给了我们集合。其他什么都不是一套。您将看到，我使用集合（和“not-set”）来处理未经证明的集合（在公理发展的各个阶段）。

因此，您可以进行一系列有限证明：

• （我想你有空电视机……）$\varnothing美元$是一个集合。
• $\{a\}$是一个集合。
• $\{a，b\}$是一个集合。
• ...

注意，省略号是不集合论中的一个证明。它们是元理论中的一个论点，元理论实际上包含一个自然的副本（“模型”），作为归纳的脊椎。

现在有一个思想引导者。在公理3.5之前的集合论中，我们能写出什么证据来证明被省略的集合序列实际上是由自然数建模的。它是一组集合，只有有限的集合才能出现在任何证明中。我们知道自然是如此普遍，以至于假定无限集合与自然平行吗？我们怎么知道的？到目前为止，我们如何用公理来证明这一点？我们没有。Axiom 3.5之前的理论中没有任何内容允许我们得出任何结论。

我们在Axiom 3.8前面介绍了自然语言的元理论/非正式副本，但值得注意的是，我们在任何证明中都只使用了这些非正式自然语言的有限初始段。在Axiom 3.8之前，我们所做的一切都不允许我们将naturals称为设置我们也无法将元理论自然数的整个无限非集与我们开始明确记录的集合进行比较。（这个集合可能是集合，也可能不是集合。你能证明它只使用公理3.5之前的公理吗？）

如果我们希望集合理论能够对整个自然数集合进行推理，我们需要将该集合导入到理论中。而且，这将是一个很大的进步，因为到那个时候，所有的集合都是有限的。因此，我们引入Axiom 3.8。自然人现在是设置在我们做出公理之前，它们不是集合。回想一下：公理确切地告诉我们什么是集合：基于公理的有限证明给了我们集合。由于前面的公理中没有任何东西给我们无限的设置，前面的任何内容都不能证明自然词是一个无限集合，也不能解释自然词的非正式集合。我们可以对有限段进行推理，但对自然段的有限证明无法解决集合的集合性全部的非正式的自然语言。

一旦你知道自然语言是一个集合，那么你就可以用它们做你想做的大多数事情。在自然成为集合之前，所有关于集合的集合论定理都不适用于自然。

然后我们可以向大家展示作为集合的自然模型事实上是Axiom 3.8中的自然集模型。在这个集合理论能够证明任何关于集合的东西之前，必须有一个集合，从公理来看，它是自然的。

Answer 4

您可以证明以下任何陈述：

1. 有一个包含0个元素的集合
2. 有一个包含1个元素的集合
3. 有一套有2个元素
4. 有一个包含3个元素的集合
5. 有一个包含4个元素的集合
6. $\ldots（美元\ldots）$

你无法证明这一说法：

• 鉴于n美元$，有一套n美元$元素

在该语句中，输入n美元$是必须在证明中处理的抽象元素。你还没有能力处理这个抽象量n美元$.

Answer 5

数学归纳法公理2.5的原理在前一章中，道直到公理3.8（我的版本中是公理3.7）才将其引入集合论。对于特定的大型工会（例如由一百万个工会组成的工会），他不需要这样做，但他需要这样做任意地大量有限的并集。

同样的公理给了他无限集$\mathbf N美元$，但还不意味着存在无限多个并集的可能性。公理3.12（在我的版本中是3.11）更普遍地给出了这种任意数量的联合。

Answer 6

之前的一些其他答案错误地声称道的摘录意味着我们可以证明“有两个元素的集合”。不。$\{a，b\}$可以不有2个要素，除非你能证明$a≠b$目前尚不清楚陶是否自己犯了这个错误，因为他的摘录实际上有点模棱两可。

然而，关键是即使你可以记下一笔财产Q美元$并证明它适用于所有明确的自然数（即“$0$“或形式”$1+\cdots+1美元$“），确实如此不暗示你可以证明“$∀k{∈}ℕ\（\Q（k）\）$"!

也就是说，你有可能证明“Q美元（0）$“和”Q美元（1）$“和”Q美元（1+1）$“和”Q美元（1+1+1）$“等等，但是不能证明“$∀k{∈}ℕ\（\Q（k）\）$“！这不是由于逻辑推理中的任何缺陷，而是一种基本现象$F（美元）$对于我们用于所有证明的数学，如果$F（美元）$可以证明自然数的所有基本性质（即$⟨ℕ,0,1,+,·,<⟩$形成离散有序半环），那么我们实际上可以写下一个显式属性C美元$和证明（在$F（美元）$)那个$F（美元）$证明“$C（0）$“和”C美元（1）$“和”C美元（1+1）$“和”$C（1+1+1）$“以此类推，或者$F（美元）$证明“$0 = 1$“或$F（美元）$ 不能证明“$∀k{∈}ℕ\（\C（k）\）$“！这是哥德尔-罗瑟不完全性定理的直接结果（你可以阅读一个相对简单的证明在这里).

顺便说一句，在数学中依靠“常识”往往是愚蠢的；除非你能进行非常清晰的逻辑思维，否则你的“常识”可能有缺陷，在这种情况下，避免谬误的最简单方法是使用严格的逻辑推理和不直觉。

Answer 7

大多数答案都强调了对于所有n，现金P（n）$与所有n，P（n）的现金$，其中现金P（n）$意思是“有证据证明P（n）美元$“。虽然这种区别非常重要，但在这种情况下并不完全适用。

事实证明，公理3.4和3.5（连同扩展性和空集）足以定义无限井序，并证明对任意大集合进行编码的奇异语句。如果没有规范化原理，良序性将大大减弱，但我们仍然清楚地证明了任意大集的存在性。

陶完全有可能不知道我提到的建筑，因为细节相当微妙。然而，更有可能的是，他只是说，在他的形式化中，“迭代”和“自然数”的概念在那个特定的点上没有得到正确的定义。他的陈述非常模糊，所以很难准确地确定他想说什么，所以你真的没有错，因为你把它弄糊涂了。

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Answer 8

1. “任何对象”不包括我们能想到的任何对象（如果它是一个矛盾的对象怎么办？）它包括我们可以使用现有的公理来证明存在的任何对象。

2. 3.12意味着3.5（如果我们有配对公理，），因为如果我们让A={B，C}，那么∧A=B≠C。3.5并不意味着3.12，3.5说如果我们有两个集合，它们的并集是一个集合，3.12说如果我们拥有一个集合A，通过取A的所有元素的并集而得到的集合是一个集。

3.12给出了如果{a，b，c.…}是一个集合，那么aübíc。。。。是一个集合。

集合A可以是无限的，3.5的任何有限应用都不能产生A的所有元素的重复并集。

在元数学上，我们可以构造任意大的有限基数集。

如果我们需要一个包含50个元素的集合，我们知道如何构造这样的集合。我们可以凭直觉知道，这样的过程可以适用于任何有限的基数。

但是，我们能在公理的基础上证明——存在一个具有任意数量元素的集合吗？

此外，我们如何推理无限集？我们的直觉适用于无限集吗？我们不需要一些严格的方法来处理我们的直觉无法扩展到的无限集/结构吗？

并集公理+集合存在公理+配对公理是否证明存在任意大小的集合？

当然，我们可以一乘一地构建越来越大的集合。

但是，你能写出一组基数存在的证明吗即使你可以在单个原子上写字，在可观测宇宙中也没有足够的证据来证明这一点。

为此，我们需要某种递归定理，这是附加公理的要点。

此外，您可以构造一组基数n，但您可以构造任意有限基数吗？

无论构造多大，都无法在有限长的证明中覆盖所有可能的大小，每次只取一个并集对，因此无法证明这样的对象是否存在。