如何在一般向量空间的非标准分析中定义无穷和？

Question

我正在研究非标准分析，在这个框架中我遇到了无穷和的概念。我知道在标准分析中，无穷和通常是通过收敛概念定义的。我读过在非标准分析中，可以在不明确使用收敛的情况下定义无限和。我的问题是，这个无限和的概念是否可以定义为一般向量空间的元素，而不仅仅是实数。

具体地说，我在看一个内部序列的和$\｛v_j｝_｛j=1｝^\ω$，其中$\欧米茄$是一个无限自然数，并且$v_j（美元）$是一个实数。使用的符号为：

$\sum_{j=1}^\omega v_j$

如果$\{v_j\}$一般向量空间的元素，而不仅仅是实数吗？如果是这样，这个定义是如何扩展到一般向量空间的？

如能详细解释或参考相关文献，我们将不胜感激。

谢谢您！

Answer 1

如果V美元$是向量空间，并且$a_i\以V表示$对于$i=1,2,3，\ldot$是向量，我们可以定义有限和$s_n=\sum_1^n a_i$。这些定义了一个序列$s:\mathbb N\到V$星形变换提供了一个扩展序列（仍表示为%s美元$)哪一张是地图$s:{}^\ast\hskip-1pt\mathbb N\到{}^\ ast\！V（V）$。那么您要寻找的“无穷和”就是s_n美元$在无限整数处$n=H$（在某些情况下，最好使用术语“无限”代替“无限”。）系列$\总和a_i$可加（至L美元$)如果且仅当所有这些$s_H^{\幻影{I}}$非常接近L美元$.