布朗运动的唯一性

Question

也许这是一个愚蠢的问题，但它让我有点烦恼。我理解布朗运动的构造（首先使用科尔莫戈洛夫扩张定理在并矢时间构造值，然后使用（再次使用科尔莫哥洛夫？）连续性定理来填补空白）。简而言之，我们得到了一个可测映射$f:（\Omega，\mathcal f，P）\to\mathbb R^{[0，+\infty）}$，使得轨迹是a.s.连续的，具有独立增量，如高斯R.v.等。

然而，我正在考虑下面的问题（也许太迂腐了）：假设有另一个可测量的映射$\tildef：（\tilde\Omega，\mathcal{\tildeF}，\tildeP）\to\mathbbR^{[0，+\infty）}$，其轨迹是a.s.连续的，并且具有与布朗运动相同的有限维分布（如上所述）那么是否有一个保持同构（可能是空集的模）的测度$\phi:（\Omega，\mathcal F，P）\to（\tilde\Omeca，\mathcal{\tilde F}，\tilde P）$，这样f=φf$\ tilde f=f\φ$？换句话说，是否存在一种“普遍”的（范畴理论意义上的）布朗运动。也许对空间$（\tilde\Omega，\mathcal{\tildeF}，\tildeP）$有一些要求是必要的，在这种情况下，我假设它是标准Borel概率空间。

还有一个附带说明：这种考虑在概率论中真的重要吗？或者我们满足于随机过程的等价性吗（具有相同的有限维分布），我认为它弱于保测度的“同构”？

编辑我在表达（假定的）普遍属性时犯了一个愚蠢的错误。它应该是$\tilde f=f\phi$，而不是$\tilder f=\phi f$。

Answer 1

你问的问题本身很有趣，但在概率论中通常不被认为是一个重要的问题。一般来说，唯一性很重要，人们会问“布朗运动是唯一的吗？”。相反，布朗运动的唯一性问题是以以下方式提出的：

考虑可测空间$（C，\mathcal{C}）$，其中$C$是从$[0，\infty）$到$\mathbb{R}$的连续函数集，$\mathcal{C}$是由坐标投影导出的$\sigma$-代数。如果$P$和$Q$都是满足布朗运动分布要求的两个概率测度，那么$P=Q$？

从这个意义上说，唯一性是关于分布的，而不是映射或随机变量。此外，与存在性问题相比，唯一性问题是相当微不足道的：由于上面的$P$和$Q$度量具有相同的有限维分布，因此它们在$\mathcal{C}$的生成系统上是相等的，该生成系统在交集下是稳定的，因此概率测度的标准唯一性结果产生$P＝Q$。

此外，在概率论中，当考虑布朗运动的存在性时，通常所指的主要结果是$（C，\mathcal{C}）$上的概率测度的存在性，满足成为布朗运动的要求，而不是实际映射。如果需要实际的随机过程，可以只使用$（C，\mathcal{C}，P）$上的单位映射。这些都是一些抽象的考虑，但在精确地确定正在构建的内容时非常有用。有关这方面的更多信息，请参阅罗杰斯和威廉姆斯的著作，尤其是第一卷第二章。