给定最大似然函数-估计参数值

Question

假设我有pdf和最大似然函数：

$f_X（X）=\开始{cases}\压裂{\alpha\beta^\alpha}{x^{alpha+1}}，&x>\beta\\0，&x\leq\beta。\结束{cases}$

$\开始{对齐}&l（\alpha，\beta）=\log l（\alfa，\beta）=n\log\alpha+n\alpha\log\beta-（\alba+1）\sum_{i=1}^{n}\log x_i\结束{对齐}$

在解决方案中，他们回答：

\开始{对齐}&为了确定}\beta的最大似然估计，我们注意到唯一包含}\beta\text{的项是}n\alpha\log\beta。\text{它是单调的，并且在}\beta中递增，意味着我们最大化}l，text{，从而通过选择}\beta\text{尽可能大的}l，text{.我们必须考虑的约束是}x_i\geq\beta\text{对于每个}i=1，\ldots，n.text{因此，我们设置}\hat{beta}=\min_{1\leqi\leqn}x_i \text{以最大化}l\text{关于}\beta。\结束{对齐}

在“我们必须考虑的约束是……”之后，我完全不理解其中的解释。如果有人能简单地解释一下，我会非常感激。

Answer 1

$\测试版$是这个帕累托分布的最小值：问题是密度为$0$在下面$\测试版$因此，观测以下数据的概率为零$\测试版$.

假设你知道$\alpha=2$你观察了数据$10.0, 11.1, 12.4, 14.5$。那么可能性将与此曲线成比例，如下所示$\测试版$变化：

这说明了$0\lt\beta\lt 10$可能性是的递增函数$\测试版$。但为了$β>10$这样的可能性为零$\测试版$鉴于观察结果，一些数据必须低于分布的最小值。这就是正在讨论的约束。

因此，这里的可能性明显最大化$\hat\beta=10.0$，观测值的最小值。

Answer 2

如解中所述，最大似然函数$\阿尔法$，正在增加$\测试版$.

因此，对于某些固定样本$（x_1，\ldot，x_n）$我们想做$\测试版$尽可能大。

但由于随机变量的支持$（β，+\infty）$，我们有$x_i\geq\beta$对于1美元$.

因此，最大值$\测试版$可以有是$\显示样式\min_{1\leqi\leqn}x_i$，它将是的最大似然估计量$\测试版$.