$79\neq n_1^4+\cdots+n_{18}^4\$[$79$不是十八个$4$的整数幂之和]

Question

这是罗森《离散数学教科书》中的内容，留给读者验证。我试图证明这一点，但我被卡住了：

我知道整数的四次幂是：$0^{4}=0，1^{4{=1，2^{4neneneep=16，3^{4neneneei=81，\点$等等。我也明白这里允许重复。

所以自从$3^{4} > 79$，我们真的只能使用$0^{4} = 0, 1^{4} = 1$、和$2^{4} = 16$创造我们的18个4次方之和，加上79次方。

因此，我们有以下方程式/不等式：

$x+16y=79美元$（其中x是1的四次方数，y是2的四次方数）

$0\leq x+y\leq 18美元$（因为我们可以让0的四次幂占据18个位置中的一些位置）

$0\leqy\leq4美元$（因为至少2的四分之五是$\geq 80>79$)

$0\leq x \leq 18美元$（1的四次幂为18分）

不知道如何从这里开始。我的意思是，我在desmos上画了图，看看这条线x美元+16y=79$不在不等式的交叉区域。因此，真的没有解决方案能够满足这些限制，更不用说整数了。

然而，有没有更好的方法来证明这一点？我觉得如果作者把它留给读者自己验证，它应该比这简单得多。请务必在这里帮助我。

Answer 1

你有$18$条款。他们只能是$0,1,$或$16$.和5美元乘以16>79$你最多只能有四个$16$.

如果你有四个$16$这些加起来是吗$64$.那么你有$14$剩余条款必须$0$或$1$。至多这些加起来等于$14$所以你能加起来的最高值是$64 + 14=78$。还不够。

如果你有较少的比四个$16$很明显情况更糟了！

如果你想彻底和准确。

让n美元$是的数字$16$涉及。而且千美元$的数量$1$s.和$r=（18-n-k）\ge 0$是零的数量。

你有这笔钱16n+k+0美元\cdot r=16n+k$。但我们可以注意到$n+k+r=18$等等$k=18-n-r \le 18-n$.

如果$n\ge 5美元$然后$16n+k\ge 16n \ge 16\cdot 5=80>79美元$和总和是不可能的$5$或更多$16$秒。

如果$n\le 4美元$然后$16n+k\le 16\cdot 4+k=64+k$.是否有任何限制千美元$?$k=18-n \le 18-n$所以$16n+k\le 16n+（18-n）=15n+18\le 15\cdot 4+18=78<79$因此，用$4$或更少$16$秒。

这就是全部。

Answer 2

这是一个鸽子洞问题。首先，$79<3^4=81$所以唯一合格的加数是$0,1,16$.然后实现正确的残留物$\bmod 16美元$，十八个条款中的十五个必须是$1$。这只剩下三个术语$0$或$16$，但是四个$16$十五岁就需要条件了$1$等于总数$79$.

Answer 3

所有不等式都成立的区域是一个重要目标。您的求解方法只是一种完全有效的方法的图形表示。

我不知道这是否是罗森所希望的，但我认为这显示了对问题的深入了解。祝贺 你！

让我们试着用代数而不是用图形来做。但我们可以从图中得到一个提示：区域与直线的最近点x美元+16y=79$是线交叉处的那个$y=4$和$x+y=18$重点$(14,4).$也就是说，当你应用不等式时$y\leq 4美元$和$x+y\leq 18美元$你得到一个有这个顶点的区域，位于从这个顶点开始的两条射线之间。该区域在下图中有阴影。

重要的是x美元+16y=79$是一条直线的方程，因为这确保了我们在图的边缘看到的趋势——当你向左或向右移动时，这条线离阴影区域越来越远——永远不会反转，无论我们向外看多远，因此阴影区域中的任何东西都不可能靠近这条线$x+16y=79美元$而不是顶点$(14,4)$余下的不等式消除了射线之间的大部分区域，但它们消除的点已经远离直线x美元+16y=79$

这表明（用图形表示！）我们只需要考虑不平等$y\leq 4美元$和$x+y\leq 18美元$并且不需要在证明中使用任何其他不等式。对于阴影区域中的一些点，其他不等式将给出其他原因，说明为什么这些点不能成为原始问题的解决方案，但考虑到上图所示，我们已经有了足够的理由。

所以让我们$（x，y）$是所有不等式都成立的任何点。我们有$y\leq 4美元$和$x+y\leq 18$所以$$x+16y=（x+y）+15y\leq 18+15\cdot4=78<79$$因此，不可能x美元+16y=79$

Answer 4

这个回答是由我和原海报之间的来回评论激发的，在张贴的问题之后。我正试图澄清我的分析。虽然我的井可以通过$~\pmod{16}~$论点，没有这种方法是必要的。

为了尝试找到令人满意的收藏$~18~$术语，其中每个术语都是$~\{0,1,16\},~$让$~k美元~$表示$~16~$使用的术语。自$~（5\乘以16）>79~$你一定有那个$~k\在\｛0，1，2，3，4 \｝中~$

所以，假设$~k美元~$条款$~16~$使用。那么，您必须使用剩余的~（18k）美元~$子集中的术语$~\{0,1\},~$到填补空白属于$~[~79-（16\乘以k）~]$

因为子集中最大的元素$~\{0,1\},~$是元素$~1,~$可以通过~（18k）美元~$条款是约18万美元~$

因此，为了找到有效的解决方案，您必须找到以下值$~k美元~$在里面$~\{0,1,2,3,4\},~$就是这样不这个案子

$$[~79-（16\乘以k）~]>（18-k）。\标签1$$

然而，当$~k=4~$

也就是说，什么时候$~k=4~$LHS比RHS大1。

此外，您的模式是：

• 什么时候？$~k=3~$LHS比RHS大16。
• 什么时候？$~k=2~$LHS比RHS大31。
• 什么时候？$~k=1~$LHS比RHS大46。
• 什么时候？$~k=0~$LHS比RHS大61。

因此，在每一点上$~k美元~$转到$~（k-1）~$LHS和RHS之间的差异增加了$~15.~$这是因为在每一步中$~16~$到LHS，仅添加$~1~$至RHS。

因此，您可以得出结论，由于上述（1）中的不等式在$~k=4~$不平等也必须持续下去$~k美元~$在里面$~\{0,1,2,3\}.~$

因此，你可以得出结论，而不需要实际检查$~k\in\{0,1,2,3\}~$上述（1）中的不等式将达到的最接近值不是真的将在何时$~k=4~$

另一种说法是，考虑到上述（1）中不等式的目标失败$~k美元~$为了实现这个目标，必须$~k=4$

Answer 5

你已经有了很好的答案，让我总结一下我在评论中写的内容，即如何根据你的发现来解决问题。

从自己的工作出发，应用mod$16$到x美元+16y=79$，我们获得$x\equiv 15\pmod{16}$，即。$x=15,31,47，\点$接下来我们使用其他不等式$0\leq x \leq 18美元$结束$x=15美元$。再次从x美元+16y=79$，我们得到$y=4$.因此$x+y=19$并使用最后一个不等式$x+y\leq 18美元$我们达成了一个矛盾，因此没有解决办法。