给定线积分的计算

Question

问题：评估$\int_{C}$B.d日第页沿着曲线$x^{2}$+$y^{2}$=1,$z（美元）$从（0,1,2）到（1,0,2）的正向=1；鉴于B=（xz²+y）我+（z-y）j个+（xy-z）k个

这个问题本身很简单，但我不知道如何处理z=1

这是我的尝试：-

$\int_{C}$B.d日第页=$\int_｛C｝$（xz²+y）我+（z-y）j个+（xy-z）k个.（dx我+第y天j个+第纳尔k个)

=$\int_{C}$（xz²+y）dx+$\int_{C}$（z-y）dy+$\int_{C}$（xy-z）dz

我应该在上面的积分中加入z=1吗？在此之后，我将对所有三个积分进行积分，并给出问题中给出的值。

Answer 1

正如J.D所指出的，是的，看起来坐标告诉我们$z=2$而你的问题是$z=1$。所以可能需要在笔记中检查一些内容。

无论是哪种情况，这都无关紧要，因为$z=\text{cst}$所以你的问题的答案是：对。您可以替换$z（美元）$通过它在上面积分中的常数值（你会得到$\mathrm美元{d} z（z） = 0$，所以第三个积分消失，因为$z\equiv美元$常数）。

原因是曲线定义在一个恒定高度的切片上($z=1$或$z=2$，取决于你的问题）。所以在某种程度上，你的曲线$x^2+y^2=1，z=1$只是平面上的一条曲线$\{z=1\}$因此，你可以忘记第三维度，做任何事情都像在飞机上一样。（通过设置$z=1$无论什么地方$z（美元）$出现，并且$\mathrm美元{d} z（z） = 0$).