用来证明三角形是直角的毕达哥拉斯定理

Question

我被要求证明三角形的顶点，即$A=3+i$,B美元=6$和$C=4+4i$形成直角三角形。我沿着这条路走，把两条较短的边平方，然后把它们相加，等于最长的边的平方。

这让我想到，既然毕达哥拉斯定理简单地告诉我们，腿上两个方块的面积之和（a和b）等于斜边上的方块的面积（c），我们怎么能说没有其他三角形能满足这个方程。

仅仅因为这个等式代表直角三角形，我们怎么能假设它不代表其他三角形？

有没有更严格的方法来显示这一点？

Answer 1

你说得对，毕达哥拉斯定理是正确的，但它并不能证明匡威也必须为真。但是，在这种情况下，可以很容易地证明，如果毕达哥拉斯定理是真的，那么反过来也是真的。以下简单的证明来自维基百科文章:

设ABC为边长三角形美元$,十亿美元$、和$c美元$，使用$a^2+b^2=c^2$.用长边构造第二个三角形美元$和十亿美元$包含一个直角。根据毕达哥拉斯定理，这个三角形的斜边有长度$c=\sqrt｛a^2+b^2｝$，与第一个三角形的斜边相同。因为两个三角形的边长相同美元$,十亿美元$和$c美元$，三角形是全等的，并且必须具有相同的角度。因此，长度边之间的角度美元$和十亿美元$在原来的三角形中是一个直角。

Answer 2

你所要求的是勾股定理通常的直接公式的逆式。你说得对，直接定理并不意味着它的逆定理。

事实上，反之亦然。在我女儿（在法国）的数学课上，他们明确地教授定理及其逆定理。

Answer 3

毕达哥拉斯定理的逆问题在其他答案和评论中已经得到了充分的解决。我写这个答案是为了给你一个更简单、更短的原问题解决方案。

你正在处理复杂的平面。要显示这些点构成直角三角形，需要显示两条边是垂直的。在复数平面中，表示表示复数的向量$z（美元）$垂直于表示另一个复数的向量$w美元$，你需要证明$z=千克$，其中千美元$是一个实数。特别是，当$k=1美元$，你有$|z|=|w|$（等长）以及$z（美元）$由逆时针方向构成$90$旋转角度$w美元$，以及何时$k=-1$，是顺时针的$90$而不是旋转度。在哪里？$|k|\neq 1$，您有一个长度比例因子。

也就是说，找到向量$\vec{AB}，\vec}BC}$和$\vec{AC}$复杂形式：

$\vec{AB}=\vec}OB}-\ vec{OA}=6-3-i=3-i$

同样，$\vec{BC}=-2+4i$和$\vec{AC}=1+3i$

几乎立即，您应该能够“看到”$\vec{AC}=1+3i=i（3-i）=i\vec}AB}$.

因此你可以得出这样的结论A、B、C美元$在复杂平面上形成直角三角形美元AC$和AB美元$垂直（直角为美元$)，等长（等腰直角三角形），带线段美元AC$用a构造$90$分段逆时针旋转度AB美元$.

Answer 4

余弦定律告诉我们，对于有边的三角形美元$,十亿美元$和十亿美元$和角度$\阿尔法$,$\测试版$和美元\ delta$，我们有

$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

所以如果我们知道$c^2=a^2+b^2$，我们知道$\cos\gamma=0$。只有在以下情况下才会出现这种情况$\gamma=\frac{\pi}{2}$，既然我们知道了$0<\alpha、\beta、\gamma<\pi$.

Answer 5

在复杂平面中，这些点是：A（3,1），B（6,0）美元$和$C（4,4）$.让百万美元$表示任何直线的坡度1美元$.

注意：$$m_{AB}。m_{AC}=-1\暗示\angle BAC=\frac{\pi}{2}$$

Answer 6

一个快速的解决方案是证明$AB^2+AC^2=BC^2$然后美元\增量ABC$就在美元$就是构造高度美元AH$.然后$$AB^2+AC^2=2HA^2+HB^2+HC^2$$使用毕达哥拉斯定理。然后基于以下事实$$AB^2+AC^2=BC^2=（HB+HC）^2=HB^2+2HB \cdot HC+HC^2$$我们到达了$HB\cdot HC=HA^2$，或$HB/HA=HA/HC$这意味着两个直角三角形美元\ Delta BHA$和美元\ Delta AHC$都是类似的。因此$$\角度BAC=\角度BAH+\角度HAC=\角ACH+\角BCH=90^\circ$$

Answer 7

AC=（4-1）/（4-3）=3的斜率AB的斜率=（1-0）/（3-（-6））=-1/3因为这两个斜率是彼此的负倒数，所以AC垂直于AB，因此是直角