关于奇数阶群乘法表的问题。

Question

问题让G美元$是一组奇数阶。然后证明其乘法表的对角元素只包含每个元素一次。

尝试我最终得到的是美元^{2} c（c）^{2} =e$对一些人来说$a，c\单位G$.如果我的团队是阿贝尔人，那就会产生这种结果$c美元$是的倒数美元$，但我看不出有什么矛盾。理想情况下，我觉得我需要证明对角线是否可以包含两次相同的元素，然后以某种方式存在二阶子群，这将是一个矛盾。请帮我继续。

Answer 1

假设$a^2=b^2$.作为G美元$有奇数阶存在整数%s美元$和$t（美元）$这样的话$s\cdot|G|+t\cdot2=1美元$.

然后$a=a^1=a^{s\cdot|G|}\cdot（a^2）^t=$因此，地图$g\右箭头g^2$是内射的。

Answer 2

假设您有元素美元$和十亿美元$这样的话$a^2=b^2$.

然后$\langle a^2\rangle=\langle b^2\ rangle$.但是因为G美元$都有奇数顺序美元$和十亿美元$有奇怪的订单，所以$\langle a^2\rangle=\langle a等级$和$\langle b^2\rangle=\langle b\rangle$.所以$\langle a\rangle=\langle b\rangle$特别是千美元$这样的话$b=千美元$.

然后$a^2=b^2=（a^k）^2=a^{2k}$.这意味着$a^2=^{2k}$因此，$1=一个^｛2k-2｝=一个^｛2（k-1）｝$.

这意味着美元$划分2美元（k-1）$.由于顺序是奇数，所以它会进行除法k-1美元$.这意味着$b=a^k=a^{（k-1）+1}=a^{k-1}一个=a$.