为什么阶乘没有明确的公式？

Question

我对求和和乘积有些陌生，但我知道第一个正n个整数的和是由以下公式给出的：

$$\sum_{k=1}^nk=\压裂{n（n+1）}{2}=\压裂$$

然而，我知道，对于最简单的产品（在我看来），没有已知的公式——阶乘：

$$=\prod_{k=1}^nk=\prod_}k=2}^nk$$

我不知道这是不是产品的工作原理，但我真的很想知道！

所以我的问题是为什么没有明确的公式（用n表示，除了n（n-1）。。。2*1）对于前n个整数的乘积？有没有证据表明一个人不可能存在，或者说一个人还没有存在发现?

我所说的显式公式是指不需要n步计算的非函数方程，就像求和公式不需要n次加法一样。

Answer 1

（以下是一个笑话。）

将$a_n:={1\over6}n（n+1）（n+2）$和$b_n:=}1\over 2}n（n+1）$放入，并定义魔法常数$$\xi:=\sum_{n=1}^\infty{n！\over 2^{a_n}}\=\0.6308822667676796815526621896\ldots\quad$$然后$$=\bigl\lfloor\>2^{a_n}\xi\>\bigr\rfloor\quad\bigl（{\rm mod}\\2^{b_n}\bigr）\qquad（n\geq1）\$$试试看！

Answer 2

由于似乎没有人愿意回答，让我试着总结一下评论中的暗示。

首先，我们可以将阶乘写成$$n=\int_0^｛\infty｝x ^ n e（整数0 ^｛\infty｝x ^ n e）^{-x}dx。$$这个公式的结果之一是斯特林近似：作为$n\rightarrow\infty$，$$！\sim\左（\frac{n}{e}\右）^n\sqrt{2\pin}。\标记{1}$$乍一看，如果$n！$有一个显式代数公式就$n$而言，在这种表达式中没有$e$或$\pi$的位置；由于它们都存在于渐近性中，人们很容易得出这样的结论：不可能存在这样的代数公式。事实上这并不完全正确：正如米查利斯所指出的那样，人们可以获得$e$作为$\left（1+\frac{1}{n}\right）^n$的渐近性。

要严格显示不存在，您首先应该严格定义“显式公式”$n的含义=f（n）$，即定义“可接受”函数的类$f$。例如，有理$f$立即被上述渐近性排除。

Answer 3

我想过费马理论以及如何必须有代数版本的

$n=\裂缝{{\mathrm d}^n}{{\mathrm d{^nx}\，x^n$

事实上，这让我得出了一个公式

$n=\sum_{k=0}^nR_{nk}\，k^n$

即使用$R{nk}=（-1）^{n+k}{n\choose k}$。当然，您可以使用阶乘来计算二项式，因此没有计算加速，但它仍然可以生成一些好看的方程：

0! = + 0 ^01! = - 0^1 + 1*1^1,2! = + 0^2 - 2*1^2 + 2^2,3! = - 0^3 + 3*1^3 - 3*2^3 + 3^3,4! = + 0^4 - 4*1^4 + 6*2^4 - 4*3^4 + 4^4,5! = - 0^5 + 5*1^5 - 10*2^5 + 10*3^5 - 5*4^5 + 5^5,6! = + 0^6 - 6*1^6 + 15*2^6 - 20*3^6 + 15*4^6 - 6*5^6 + 6^6,7! = - 0^7 + 7*1^7 - 21*2^7 + 35*3^7 - 35*4^7 + 21*5^7 - 7*6^7 + 7^7,8! = + 0^8 - 8*1^8 + 28*2^8 - 56*3^8 + 70*4^8 - 56*5^8 + 28*6^8 - 8*7^8 + 8^8

这里的基本定理是，对于所有的$n$

$\sum_｛k=0｝^n\dfrac｛（-1）^k（-k）^n｝｛k！\，（n-k）！｝=1$

Answer 4

这两个公式给出n！这是欧拉发现的。请参考此链接以进一步阅读。http://eulerachive.maa.org/hedi/hedi-2007-09.pdf

Answer 5

如果我没弄错的话，Manjul Bhargava将阶乘函数推广到包括（pi）！和（2+√3）！