连续曲线与其旋转90度的副本相交？

Question

这与中的问题几乎相同这个问题然而，那里的OP正在寻找一种解决方案，在那里我们可以假设任何数量的事情，而我只想坚持给定的假设（连续性）。所有答案都针对OP的意图，做出了一些可能不必要的假设。所以它们都不适用于这里。

问题是：

连续的内射曲线C美元$来自$(-1,-1)$到$(1,1)$在欧几里得平面上。旋转C美元$在任一方向上$90$相对于原点的度数，我们得到一条新的曲线$C'（美元）$从$(-1,1)$到$(1,-1)$.证明存在一个点X美元$这取决于双方C美元$和$C'（美元）$.

在相关问题中，亚瑟公认的答案是假设通过原点的每条直线相交C美元$正好在一个点上（当然，除了直线$y=x$)，还有那个C美元$严格按逆时针方向。假设这些，他提供了一个证据。另外两个答案是不完整的，每个答案都遗漏了一个他们没有讨论过的案例。

这是一个看起来很有前途的方法。看看C美元$作为一组点，我们用极坐标表示$（r，θ）$.存在一个点$P_0=（r_0，\theta_0）$以便$r（P）\geq r_0$对所有人来说$P\单位：C$（通过连续性），类似地，我们有一个上界$P_1=（r_1，\theta_1）$。如果我们假设在C美元$距离的美元$到每个的原点美元$以便$r_0<r<r_1$，然后他们的差异$\θ$s是由以下因素唯一确定的美元$我们打这个号码吧$θ（r）$.自$\theta（\sqrt2）=\pi>\pi/2$和$θ（r_0）=0<\pi/2$、和$\θ$是连续的，通过IVT有一些美元$以便$θ（r）=\pi/2$所以我们有一个观点C美元$这正是$90$与上的另一点相距度C美元$到原点的距离相同。因此，将该点旋转90美元$度，结果仍停留在曲线上。我们完成了。

这种方法仍然假设不仅仅是连续性。特别是，通常情况下$2$每个的点美元$在加元$。如果我们不这样假设，这个证明就失效了，因为美元$无法确定$\θ$.感谢您的任何想法！

Answer 1

一些符号：对于曲线（贴图）$\phi\colon[0,1]\to\Bbb C$，定义曲线（集）$[\phi]：=\phi（[a，b]）$此外，如果$\phi（0）=0$，定义$\phi^\pm$作为给定曲线与其反向负值的串联：$$\开始{align}\phi^\pm\冒号[a-b，b-a]&\到\Bbb C\\&\mapsto\开始{案例}-\φ（a-t）&t\le0\\phi（t+a）&t\ge0\end{cases}\end{align}$$

现在让我们$\伽马\冒号[0,1]\至\Bbb C$成为我们的曲线$\gamma（1）=-\gammas（0）$.我们可以串联$\伽马$具有$-\伽马$到闭合曲线$\波浪线\伽玛$.

图1。发件人$\伽马$到$\颚化符\伽玛$.

假设我们能找到一个点$z_0\在[\tilde\gamma]\cap i[\tilder\gamma]中$。那么$z_0美元$位于其中之一$\pm[\gamma]$以及其中一个$\pm i[\gamma]美元$因此，其中一点$z_0、iz_0、-z_0和-iz_0$是$\英寸[\gamma]\cap i[\garma]$，根据需要。因此，我们的目标是找到这样一个交叉点$z_0美元$属于$[\tilde\gamma]\cap i[\tilder\gamma]$.

作为地图$r\colon[0,1]\to\Bbb r$,$t\mapsto|\gamma（t）|$与紧域连续，存在[0,1]中的$t_min、t_max$当它达到最小值时$r_\分钟$及其最大值$r_\最大值$分别是。如果$i\gamma（t_min）\in[\tilde\gamma]$，我们可以让$z_0=i \gamma（t_min）$并已完成。因此，我们假设从现在开始$i\gamma（t_min）\notin[\tilde\gamma]$特别是，$r_\min>0$同样，我们可以假设$i\gamma（r\max）\notin[\tilde\gamma]$.

修复$r>r_最大值$然后让D美元$是周围的开放磁盘$0$的半径美元$.我们说一条路$\eta\冒号[a，b]\到\Bbb C$ 逃离 $z（美元）$，如果$\eta（a）=z$,$|\eta（b）|=r$、和$[\eta]\ncap[\tilde\gamma]=\emptyset$.

假设存在路径$\eta\冒号[0,1]\到\Bbb C$逃避$0$.因为补语$[\tilde\gamma]$是开放的，我们可以调整美元\eta$在不改变端点或不相交性的情况下，根据我们的喜好进行局部调整$[\tilde\gamma]$; 因此，我们可以假设美元\eta$是一条多段线（有限多段）。现在让我们$\zeta\colon[0，\ell]\to\Bbb C$是长度参数化的最短路径$\ell美元$)在所有那些$\zeta（0）=0$,$|\zeta（\ell）|=r$、和$[\zeta]\subseteq[\eta^\pm]$。这可能是因为$[\eta^\pm]$是一个具有直边的简单图。

图2。发件人a）一般曲线到b）多段线美元\eta$，至c）最短的$\泽塔$，至d）简单的$\泽塔^\pm$.

然后$\泽塔^\pm$是端点位于$\部分D$以其他方式生活$D美元$。此外，$\泽塔^\pm$很简单：任何自我交流都来自$t_1\ne t_2$（日志。$t1<t2$)带有$\泽塔（t1）=\pm\泽塔$。但随后$\泽塔|_{[0，t_1]}$和$\pm\zeta|_{[t_2，\ell]}$将短于$\泽塔$，矛盾。的终点$\泽塔^\pm$分裂$\部分D$变成两个半圆弧。连同这些弧中的任何一个，$\泽塔^\pm$形成一条简单的闭合曲线——一条漂亮而友好的乔丹曲线。此外，这两条Jordan曲线的内部区域是不相交的，彼此点对称，并且它们的并集是$D\设置减号[\zeta^\pm]$.通过点对称性，$\gamma（0）$和$\gamma（1）=-\gammas（0）$不在同一个Jordan曲线内饰中。由此可见$[\gamma]$相交$[\zeta^\pm]$这太荒谬了。

我们的结论是，没有一条路可以逃脱$0$.

假设有一条路径从$i\gamma（t_min）$然后与来自的线段一起$0$到$i\gamma（t_min）$，我们会找到一条逃逸的路$0$我们知道它并不存在。另一方面，从$i\gamma（t_\max）$逃跑（这里我们用的是$i\gamma（t_max）\notin[\tilde\gamma]$). 我们的结论是$i\gamma（t_min）$到$i\gamma（t_max）$相交$\波浪线\伽玛$特别是，这适用于这些点之间的路径$i\伽玛$从而为我们提供了一个交点$z_0美元$，根据需要。

Answer 2

这里有一个快速而简单的证明，非常感谢您的帮助Moishe Cohen在评论我最近提出的问题时给出的提示如下所示。（我在此重复该问题中的报价，致使这个答案独立，尽管不幸的是，这使得证据看起来比实际更长！）

让【a，b】美元$是一个紧凑的间隔$\mathbb{R}$。对于任何连续函数$\gamma\colon[a，b]\to\mathbb{C}$，表示紧凑的连通点集$\gamma（[a，b]）$通过$[\gamma]$,并定义：\开始{align*}i\gamma\colon[a，b]\to\mathbb{C}，\&t\mapsto i（\gamma（t））\\-\gamma\colon[a，b]\to\mathbb{C}，\&t\mapsto-（\gamma（t））\\-i\gamma\colon[a，b]\to\mathbb{C}，\&t\mapsto-i（\gamma（t））。\结束{align*}如果$0\英寸[\gamma]$，然后也$0\单位i[\gamma]=[i\gamma]$，所以曲线$\伽马，i\伽马$横断。我们假设从现在开始$0\notin[\gamma]$.

根据A.F.Beardon的定理7.2.1，复杂分析（威利，奇切斯特1979），存在一个分支$\运算符名称{Arg}\gamma$在【a，b】美元$，即。连续函数$\theta\colon[a，b]\to\mathbb｛R｝$这样：$$\γ（t）=r（t）e^{i\theta（t）}\四元（a\leqsleat t\leqslateb）。$$功能$\theta+\frac{\pi}{2}$,$\θ+\π$,$\theta-\frac{\pi}{2}$是的分支$\运算符名称{Arg}（i\gamma）$,$\运算符名称｛Arg｝（-\gamma）$,$\运算符名称{Arg}（-i\gamma）$分别在上【a，b】美元$.

引用同一本书：

定义7.2.1让$\gamma\colon[a，b]\to\mathbb{C}$任意曲线并假设那个$w\notin[\gamma]$。我们定义索引$（\gamma，w）$属于$\伽马$关于$w美元$通过$$n（γ，w）=frac{θ（b）-θ（a）}{2\pi}，$$哪里$\θ$是的任何分支$\运算符名称{Arg}（\gamma-w）$在【a，b】美元$.如果$\伽马$然后关闭$（\gamma，w）$是一个整数。

索引$（\gamma，w）$有时被称为绕组编号属于$\伽马$关于$w美元$，因为它表示次数那是一点$z（美元）$四处走动$w美元$当它从$\伽马（a）$到伽马（b）美元$沿着$\伽马$. [...]

该索引可用于澄清什么是表示闭合曲线的“内侧”和“外侧”$\伽马$.我们应该说

（a） 那个$z（美元）$ 在里面 $\伽马$如果$z\notin[\gamma]$和$（\gamma，z）\ne 0$,

（b） 那个$z（美元）$ 已打开 $\伽马$如果$z\英寸[\gamma]$、和

（c） 那个$z（美元）$ 在外面 $\伽马$如果$z\notin[\gamma]$和$（\gamma，z）=0$.

[…]观察[…]$\伽马$，比如$O（\gamma）$,是这些组件的并集$\mathbb{C}\setminus[\gamma]$索引为零的。因此$O（\gamma）$是一个开放集。进一步[…]$O（\gamma）$包含一些闭合圆盘的补足。如果我们表示$\伽马$通过$I（\gamma）$，然后$$\mathbb｛C｝\setminus O（\gamma）=[\gamma]\cup I（\gamma），$$ 因此，位于内部或上方的点集$\伽马$是一个紧集。

现在引用D.J.H.Garling的话，数学分析课程，第三卷（剑桥2014）-符号的轻微冲突不应引起混淆-

如果$\gamma\colon[a，b]\到X$和$\增量\冒号[c，d]\到X$是[曲线]，和伽马（b）=δ（c）$，的并置 $\伽马\vee\delta$[曲线]来自$[a，b+（d-c）]$进入之内X美元$由定义$（\gamma\vee\delta）（x）=\gamma（x）$对于$x\单位[a，b]$和$（\gamma\vee\delta）（x）=\delta（x+（c-b））$对于$x\英寸[b，b+（d-c）]$. [...]

假设$\gamma\colon[a，b]\到X$是一条[曲线]$w\notin[\gamma]$.[…]如果$\gamma=\alpha\vee\beta$是然后并置两条[曲线]$$n（γ，w）=n（α，w）+n（β，w）。$$

使用假设伽马（b）=-伽马（a）$，我们形成并置\开始{gather*}\σ=\gamma\vee（-\gamma）\colon[a，2b-a]\to\mathbb{C}\\\tau=（i\gamma）\vee（-i\gamma）\colon[a，2b-a]\to\mathbb{C}，\结束{聚集*}并观察到，根据相同的假设，这些是闭合曲线。很明显$\tau=i\西格玛$，即。$\tau（t）=i（\西格玛（t））$($a\leqsleat t\leqslate 2b-a美元$).使用假设伽马（b）=-伽马（a）$第三次，我们有：$$n（伽玛，0）=n（-\gamma，0）=n=m+\tfrac｛1｝｛2｝，\text｛对于某些｝m\in\mathbb｛Z｝，$$因此：$$n（σ0）=n（τ0）=2m+1。$$我们需要从中保留的是其含义$（\sigma，0）\ne 0$,$（\tau，0）\ne 0$即。，\开始{方程式}\标签{3109299:eq:1}\标签{1}0\ in I（\sigma）\cap I（\tau）。\结束{方程式}

定义$r（t）=|\gamma（t）|=|i\gammas（t）|$($a\leqslate t\leqsleat b$). 是上的连续函数紧集，美元$达到最大值，$r（t_0）$.延伸美元$连续到间隔【a，2b-a】美元$，通过书写$r（t）=r（t+a-b）$($b\leqsleat t\leqslate 2b-a美元$)，我们看到了$r（t_0）$也是的最大值$|\sigma（t）|=|\tau（t）|$($a\leqsleat t\leqslate 2b-a美元$).

假设$[\sigma]，[\tau]$是不相交的。一条直线线段连接点$\西格玛（t_0）=\伽玛（t_O）$切中要害$2\伽马（t_0）$，它完全位于补语中$\mathbb{C}\setminus[\tau]$.作为第二个点显然位于$\mathbb{C}\setminus[\tau]$第一个也必须如此；因此整个连通集$[\sigma]$无界的谎言的组件$\mathbb{C}\setminus[\tau]$同样，$[\tau]$谎言在的无界组件中$\mathbb{C}\setminus[\sigma]$.我们需要保留的是：\开始{方程式}\标签{3109299:eq:2}\标签{2}[\sigma]\子集O（\tau）\text{和}[\tau]\子集0（\sigma）。\结束{方程式}

代表\eqref{3109299:eq:1}和\eqref{31092 99:eq：2}相互矛盾（对于任何闭合平面曲线美元\西格玛，\陶$和平面的任意点代替$0$)正是我的猜测的内容问题昨天。我现在可以自豪地报告我的小小猜测已经成长为一个强大的大定理！因此，假设$[\sigma]，[\tau]$不相交必须为假。

对于$S\subseteq\mathbb{C}$，让$-S、iS、-iS$表示集合$\｛-s:s\在s\｝中$,$\｛是：s\在s\｝中$,s\}中的$\{-is:s\$,分别是。我们刚刚确定\开始{gather*}[\sigma]=[\gamma]\cup[-\gamma]=[\ gamma]\ cup-[\garma]\\[\tau]=[i\gamma]\杯[-i\gamma]=i[\gamma]\杯-i[\garma]\结束｛聚集*｝横断。让$z（美元）$这是双方的共同点。如果$z\in[\gamma]\cap[i\gamma]$，我们马上就完成了。如果$z\in[-\gamma]\cap[-i\gamma]$，然后$-z\in[\gamma]\cap[i\gamma]$.如果$z\in[\gamma]\cap[-i\gamma]$，然后$iz\in[\gamma]\cap[i\gamma]$.如果$z\in[-\gamma]\cap[i\gamma]$，然后$-iz\in[\gamma]\cap[i\gamma]$.在所有情况下，$[\gamma]\cap[i\gamma]\ne\空集$.

Answer 3

这不是一个解决方案，而是一个大招

我怀疑通过压缩到$S^2美元$，然后添加一条穿过北极的弧线，直到曲线上的两个点，可以通过亚历山大对偶来显示补码有多个分量，然后就可以完成这项工作了。我还怀疑这不是OP想要的证据，所以我没有制定细节。