一个组中是否有一个自然的子组？

Question

参加一个小组$克$，并考虑其所有子群的集合。有没有一种自然的方式来定义子群的乘法，即集合形成一个组？如果是这样的话，操作是如何被限制的，这个组被称为什么？

我提出这个问题的原因以及为什么它看起来很自然是这样的。同构定理的一个结果是$HH'/H\从H'$无论何时$H，H’$是不相交的子群H美元$是的正规子群$克$此外，如果$H，H’$两者都是$克$具有$H\leq H'\leq G$，然后$（G/H）/（H'/H）\cong G/H'$因此，在某种扭曲的意义上，似乎至少在某些情况下和某些类型的$克$，可能有一种定义乘法的自然方法，它允许我们对$克$? 从这个意义上讲，在这个拟议的小组中，我们可以实际上只是“取消”H美元$“在中$（G/H）/（H'/H）\cong G/H'$这是乘法定义的结果。（至少对我来说）定义这样一个群体的后果是什么，这似乎很有趣。

很抱歉，如果问题含糊不清，但我有个想法不寻找：以任何团体为例，考虑其所有n美元$子群，并以某种任意方式定义乘法，例如$\mathbb Z/n\ mathbb Z$。如果我们这样做，我们就完全失去了这样一个事实：这些元素最初是作为一个组的子组出现的，有趣的代数结构也就丢失了！相反，我感兴趣的是，是否有这样一种方法来定义这组子组，以保持原始组的代数属性$克$.

我尝试过的一种幼稚的结构不起作用：对于两个分组$H，H’$阿贝尔群的$克$，定义$HH'=\{HH'：h\在h中，h'\在h'\}中$。很容易验证，这总是给出一个子组$克$，所以我们有闭包，关联性等也很容易检查。问题是$克$在一般群的子群“群”中没有逆$克$，因为$HH'=1美元$，我们需要$hh'=1美元$对于每个$h\单位：h$，$h'\单位为h'$这在除了最琐碎的情况之外的所有情况下都是不可能的。如评论中所述，如果我们删除以下假设$克$是阿贝尔的，那么它的子群就不需要是正规的，而且这种构造失败得更厉害，因为我们甚至没有闭包了。因此，一般来说，这种建筑不会在任何接近工作的地方进行。

非常感谢您对已经完成的事情的任何想法或链接！

Answer 1

我认为，这种建筑要被称为“天然”，至少需要具备以下特性：

诱导作用$\mathrm{Aut}（G）$关于的子群集$克$导出子群的自同构群的一个子群。

（例如$克$就结构而言“相同”$克$应成为就其结构而言也“相同”的子组组的元素，即$克$在下共轭$\mathrm{Aut}（G）$在子群群的自同构群下也应该是共轭的。）

但这并不总是可能的。例如，让$克$成为克莱因集团。它有$5$子群，所以它的子群组应该是循环的$5$，但Klein群的自同构群是S_3美元$不嵌入的自同构群C_5美元$.

Answer 2

我们可以稍微打开我们的条件，得到一些“自然”的东西。也就是说，我们可以取向量空间$\mathcal{S}（G）$由以下子组跨越$克$，在某个田地上$F（美元）$，乘积是$$A\cdot B=AB$$那么如果我们有同态$f:G\至H$，我们可以将其推广到同态$F（美元）$-代数$f_*：\mathcal{S}（G）\to\mathcal{S}（H）$由提供$f_*（A）=f（A）$$特别是自同构$a:G\至G$诱导自同构$a_*：\mathcal{S}（G）\to\mathcal{S}（G）$.

注意，这只适用于阿贝尔群，或罕见的非阿贝尔群（如四元数群），其中每个子群都是正规的。如果要对一般组执行此操作，则必须扩展向量空间以包含组的所有非空子集。要么这样，要么您可以将子组声明为生成器。那么向量空间实际上更大了，基本元素不是子群，而是子群的乘积。然后你会得到一些非交换的东西$港币\neq KH$如果H美元$和千美元$不正常。然后正规子群将位于代数的中心。

注意，在这种情况下，子群永远不可逆。事实上，子群是幂等元$A^2=A$对于所有子组美元$.然后$$A（A-\{e\}）=0$$为所有人美元$，所以每个子群都是零因子。因此我们失去了可逆性，但我们确实有一个保持同态的代数结构（在范畴理论意义上，它是函数的）。你还可以保持同构定理给出的方程。也就是说，如果$\langle H-\{e\}\langle（兰格）$是正规子群生成的理想，那么$\mathcal{S}（G）/\langle H-\{e\}\rangle\cong\mathcal{S}（G/H）$、和$HH'\mapsto（HH'）/小时$，与的图像相同美元H’$。这与$H'/（H\cap H'）$然而，这是它在商中映射到的子组。如果H美元$和美元H’$琐碎地交叉，这只是美元H’$.

一般来说，如果我们想构建涉及群体的结构，我们可能会遇到这样一个情况，即我们不能做我们想做的事情，因为群体是非常刚性的。然而，我们对域上的代数有很大的自由度，这是一个例子，它允许我们基本上做我们想做的事情。类似的情况是量子群，其中我们变形一个组以获得q美元$-模拟。