使用中的符号分析组合数学我们有组合类$\mathcal{U}$单圈非同构图等式（我们将树附加到单个循环的节点树的根合并到循环中）
$$\def\textsc#1{\dosc#1\csod}\定义\dosc#1#2\csod{{\rm#1{\small#2}}\数学{U}=\textsc{DHD}（DHD）_{\ge 3}（\mathcal{T}）$$
哪里$\mathcal{T}$是未标记的根树的类别：
$$\mathcal{T}=\mathca{Z}\times\textsc{MSET}（\mathcal{T}）$$
在这里，我们使用了单循环的二面角算子（即手镯，即可以翻转的项链）和未标记的多集运算符。树的类方程立即生成通过指数公式得到的函数方程
$$T（z）=z\exp\left（\sum_{\ell\ge 1}\压裂{T（z^\ell）}{\ell}\right）$$
事实证明MSE公司链接使用这个具有递归性的函数方程
$$t_{n+1}=\压裂{1}{n}\和{q=1}^{n}t{n+1-q}\左（\sum_{ell|q}\ellt_{ell}\right）$$
使用循环指数$Z（D_q）$二面体群的
$$U（z）=\sum_{q\ge 3}z（D_q；T（z））$$
因此，非同构连通单圈图的数量为
$$U_n=[z^n]\sum_{q=3}^nZ\左（D_q；\sum_{p=1}^n t_p Z^p\右）$$
这将产生序列
$$0, 0, 1, 2, 5, 13, 33, 89, 240, 657, 1806, 5026, 13999,\\39260、110381、311465、880840、2497405、7093751、20187313、\ldots$$
有两个前导零，因为最小的循环在3上节点。数据指向OEIS A001429公司确认程序的地方。特别是我们得到了六个节点
$$\bbox[5px，边框：2px实心#00A000]{U_6=13.}$$
备注。循环群的循环指数由下式给出
$$Z（C_q）=\frac{1}{q}\sum_{k|q}\phi（k）a_k^{q/k}$$
二面体群的
$$Z（D_q）=\压裂{1}{2}Z（C_q）+\开始{cases}\裂缝{1}{2}a_1a_2^{（q-1）/2}&q\quad\text{奇数}\\\frac｛1｝｛4｝\left（a_1^2 a_2^｛（q-2）/2｝+a_2^｛q/2｝\right）&q\quad\text{偶数}\结束｛case｝$$
此计算是使用以下Maple代码完成的。
带有（数字理论）；宠物品种标识：=proc（多边形，ind）本地subs1、subs2、polyvars、indvars、v、pot、res；res:=ind；polyvars：=指数（poly）；indvars:=指数（ind）；对于indvars中的v dopot：=op（1，v）；子1：=[seq（polyvars[k]=polyvars[k]^pot，k=1..nops（聚合物）]；subs2：=[v=subs（subs1，poly）]；res:=子（subs2，res）；od；物件；结束；pet循环：=进程（n）局部s，d；s：=0；对于除数（n）do中的ds：=s+φ（d）*a[d]^（n/d）；od；序号；结束；pet _ cycleind _ dihedral公司：=进程（n）当地；s：=1/2*pet_cycleind_cyclic（n）；如果类型为（n，奇数），则s：=s+1/2*a[1]*a[2]^（（n-1）/2）；其他的s：=s+1/4*（a[1]^2*a[2]（（n-2）/2）+a[2]（n/2））；fi；s；结束；电话：=进程（n）选项记忆；如果n=1，则返回1 fi；1/（n-1）*add（t（n-q）*add（l*t（l），q=1..n-1）；结束；用户：=进程（n）选项记忆；局部res、m、tgf、dhdgf；tgf:=加（t（p）*z^p，p=1..n）；分辨率：=0；对于m从3到n dodhdgf：=宠物变种识别（tgf，宠物循环识别（m））；res:=资源+系数（展开（dhdgf），z，n）；od；物件；结束；
附录。我们还可以回答标记案例的问题。组合类是一样的，只是现在我们得到了经典的树函数美元（z）$使用
$$\mathcal{T}=\mathcali{Z}\times\textsc{SET}（\mathcal{T}）$$
和函数方程
$$T（z）=z\times\exp T（z）$$
并且二面角算子变为
$$\sum_{\ell\ge 3}\frac{z^\ell}{|D_\ell|}=\总和{\ell\ge3}\frac{z^{\ell}}{2\ell}=-\frac{1}{2}z-\frac{1}{4}z^2+\压裂{1}{2}\log\frac{1}{1-z}$$
因此，我们有兴趣提取以下系数，
$$！[z^n]\左（-\frac{1}{2}T（z）-\frac{1}{4}T（z）^2+\压裂{1}{2}\log\frac{1}{1-T（z）}\right）$$
这有三个部分，第一部分是凯利的
$$-n！[z^n]\压裂{1}{2}T（z）=-\压裂{1'{2}n^{n-1}$$
第二个是
$$-n！[z^n]\压裂{1}{4}T（z）^2=-（n-1）！[z^{n-1}]\压裂{1}{2}T（z）T'（z）\\=-\frac{（n-1）！}{2\pii}\int_{|z|=\epsilon}\frac{1}{z^n}\frac{1}}{2}T（z）T'（z）\；dz公司$$
出租$w=T（z）$以便$z=w\exp（-w）$和$dw=T'（z）\；第纳尔$这成为$n\ge 2美元$
$$-\frac{（n-1）！}{2\pii}\int{w|=\gamma}\frac{\exp（nw）}{w^n}\frac{1}{2}w\；数据仓库=-\压裂{（n-1）！}{2}\压裂{n^{n-2}}{（n-2）！}\\=-\压裂{1}{2}（n-1）n^{n-2}$$
最后是第三个
$$！[z^n]\压裂{1}{2}\log\压裂{1'{1-T（z）}=（n-1）！[z^{n-1}]\压裂{1}{2}\压裂{1'{1-T（z）}T'（z）\\=\frac{（n-1）！}{2\pii}\int_｛|z|＝\epsilon｝\frac｛1｝｛z^n｝\压裂{1}{2}\压裂{1{1-T（z）}T'（z）\；dz$$
使用与之前相同的替换
$$\frac{（n-1）！}{2\pii}\int{w|=\gamma}\frac{\exp（nw）}{w^n}\裂缝{1}{2}\裂缝{1{1-w}\；数据仓库\\=\压裂{1}{2}（n-1）！\求和{q=0}^{n-1}\分形{n^q}{q！}$$
收集我们获得的一切
$$\压裂{1}{2}（n-1）！\求和{q=0}^{n-1}\分形{n^q}{q！}-n^{n-1}+\压裂{1}{2}n^{n~2}$$
或者可以选择
$$\bbox[5px，边框：2px实心#00A000]{\压裂{1}{2}（n-1）！\求和{q=0}^{n-3}\分形{n^q}{q！}.}$$
这个序列是OEIS A057500公司:
$$0, 0, 1, 15, 222, 3660, 68295, 1436568, 33779340, 880107840,\\ 25201854045, 787368574080, 26667815195274, 973672928417280,\ldot公司$$
又是两个前导零。
