为什么二次方程的分母中不包含$2|a|$？

Question

推导二次方程时，如维基百科关于二次方程的文章(当前修订版)主要证明包括以下步骤：$$\左（x+{frac{b}{2a}}\右）^{2}={frac}b^{2} -4ac型}{4a^{2}}$$平方根是从两边取的，为什么$$\sqrt{4a^2}=2a$$在分母中，而不是$$\sqrt{4a^2}=2\左|a\右|$$有人能给我解释一下吗？非常感谢你

Answer 1

1能够取平方根为$2a$，这将导致：

$$x+\frac{b}{2a}=\pm{\frac{\sqrt{b^{2} -4ac型}}{2a|}}\quad\iff\quad x=-\frac{b}{2a}\pm{\frac{\sqrt{b^{2} -4ac型}}{2|a}}\标记{1}$$

但是，如果$\，|a|\，$是$\，a\，$或$\，-a\，$，则后面是$\、\pm|a|=\pm a\，美元，因此公式简化为：

$$x=-\frac{b}{2a}\pm{frac{\sqrt{b^{2} -4ac型}}{2a|}}=-\frac{b}{2a}\pm{\frac{\sqrt{b^{2} -4ac型}}{\color{red}{2a}}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2} -4ac型}}{2a}\标签{2}$$

$（1）、$和$、（2）、$是完全等价的，但$、（二）、$使用起来更方便。

Answer 2

当求平方根时，我们在右手边放一个$\pm$来解释这两个根，所以没有必要去掉$a$的符号，因为我们无论如何都会把它放回去。

Answer 3

$a^2$的两个平方根是$a$和$-a$，有时写在一起为$\pm a$。

对于实数$\pm，a$相当于$\pm|a|$，但对于复数则不是这样。因此，加入绝对值运算会降低证明的通用性。

我们可以把证据写成

$$\左（x+{frac{b}{2a}}\右）^{2}={frac}b^{2} -4ac型}{4a^{2}}$$

$$\pm\左（x+{\frac{b}{2a}}\右）={\frac{\pm\sqrt{b^{2} -4ac型}}{\pm2a}}$$

$$x+{frac{b}{2a}}={frac}\pm\sqrt{b^{2} -4ac型}}{2a}}$$

但一般来说，从一开始只输入一个$\pm$就足够了，而不是为每个平方根输入一个，然后删除多余的平方根。

Answer 4

如果你把x美元=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$进入之内$ax^2+bx+c$，自从$x^2美元=\dfrac{b^2\mp2b\sqrt{b^2-4ac}+（b^2-4-ac）}{4a^2}=\dfrac{2b^2-4ac\mp2b\sqrt{b^2-4-ac}}{4a^2}$你会得到

$\开始{array}\\最大^2+bx+c&a\dfrac｛2b^2-4ac｝mp2b\sqrt｛b^2-4ac｝｝｛4a^2｝+b\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+c\\&=\dfrac{2b^2-4ac\mp2b\sqrt{b^2-4-ac}}{4a}+\dfrac{-2b^2\pm 2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a}+c\\&=\dfrac{2b^2-4ac\mp2b\sqrt{b^2-4-ac}-2b^2\pm 2b\sqrt{b2-4ac}+4ac}{4a}\\&=0\\\结束{数组}$

如果您使用$|a|$，它行不通因为你不能合并这些术语。

Answer 5

我更喜欢记住和使用二次方程式（电气工程师似乎经常这么做），就是把二次方程式的根记住为：

$$x^2\+\b\，x\+\c\=\0$$

它有解决方案：

$$x\=\\开始{cases}-\tfrac{b}{2}\pm\sqrt{\left（\tfrac{b}}\right）^2-c}\qquad&\text{代表}\left\\\\-\tfrac{b}{2}\qquad&\text{for}\left（\tfrac{b}}{2{right）^2=c\\\\-\tfrac{b}{2}\pmi\sqrt{c-\left（\tfrac{b}}\right）^2}\qquad&\text{for}\left\\\结束{cases}$$

将“$a$”标准化并不会降低二次方程的通用性。唯一的自由度是$b$和$c$，所以这意味着通常（除了双根）有两个独立的解决方案。

Answer 6

或者，注意$a\ne 0$：$$\开始{align}\左（x+{\frac{b}{2a}}\右）^{2}&={\frac{b^{2} -4ac型}{4a^{2}}\iff\\4a^2\左（x+{frac{b}{2a}}\右）^{2}&=b^{2} -4ac型\如果\\\左（2ax+b\右）^{2}&=b^{2} -4ac型\如果\\2ax+b&=\pm\sqrt{b^2-4ac}\iff\\x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。\结束{对齐}$$