以下是您如何从零开始计算答案，而无需对表单进行任何巧妙的洞察“让我们尝试这样的解决方案这!".
它做需要一些“交易技巧”，当他们出现时我会指出。但这些都是通用的技巧，而不是对这个问题的具体见解。除此之外，我们只会在每个步骤中做最简单的事情：-）。
当我第一次回答这个问题时，我把这个问题误解为要求我们的数字是整数。无论哪种方式，这似乎都是一个有趣的问题，所以这里首先是我的原始答案，然后是一个版本（正如OP所希望的那样）不做出这样的假设。
当我们的数字必须是整数时
假设我们的两个数字是$a，b$。它们的几何平均值是$\sqrt{ab}$；这是一个整数，所以$ab$是一个平方。所以[TRICK 1]对于某些整数$p，q，r$，我们必须有$a=pq^2$和$b=pr^2$。
这考虑了几何平均值。算术平均值只需要$a，b$就可以有相同的奇偶校验，这很容易。那么谐波意味着什么呢？这是$\frac{2ab}{a+b}$。它必须是一个整数，所以让我们给它一个名称，$h$说。所以$2ab=h（a+b）$或者，根据我们上面介绍的新变量，$2p^2q^2r^2=ph（q^2+r^2）$。让我们损失一个系数$p$：$2pq^2r^2=h（q^2+r^2）$。记住，这个等式是我们唯一需要的除了确保$a、b$都是奇数或偶数之外。
接下来要注意的是，LHS是$q^2$和$r^2$的倍数。如果右边的$q^2+r^2$这个因子没有阻碍，那不是很好吗？啊哈！我们可以摆脱它，因为我们可以假设$q$和$r$是互质.为什么？因为我们只需要$a=pq^2$和$b=pr^2$，如果$q，r$有一个公因数，我们可以把它的平方移到$p$中。
所以，我们有$q，r$互质。现在$q^2\mathrel|2pq^2r^2=h（q^2+r^2）$。由于显然$q^2 \mathrel|hq^2$，这产生了$q^2 \mathrel|hr^2$，现在由于$q，r$没有公共因子，我们必须有$q^2 \mathrel|h$。类似地，$r^2\mathrel|h$。更好的是，因为$q，r$没有共同的因子，这两个因子给了我们$q^2r^2\mathrel|h$。
就像原来的HM一样，我们有一个东西要除掉另一个东西，所以让我们命名商。说$h=tq^2r^2$。我们看到的方程式发生了什么变化？它变成$2pq^2r^2=tq^2r ^2（q^2+r^2）$，或者，除垃圾后，$2p=t（q^2+r^1）$。
但现在我们完成了，因为我们可以（再次，除了对平价有点谨慎之外）将$q、r、t$作为我们喜欢的任何东西，并且定义按这个等式$p$！然后我们将得到$p=t（q^2+r^2）/2$，然后$a=pq^2$和$b=pr^2$。
让我们找出那些奇偶约束。如果$q，r$具有相同的奇偶校验（即都是奇数或都是偶数），那么$q^2+r^2$是偶数，所以$p$自动是整数，$a，b$自动具有相同的奇偶校验，所以一切都好。如果$q，r$具有相反的奇偶性，那么我们将需要$p$不仅是整数，而且是偶数，并且由于$q^2+r^2$将是奇数，这需要$t$是4的倍数。
将这些位放在一起，以下过程（1）总是产生带有AM、GM、HM所有整数的$a、b$，并且（2）产生每个可能的$a和b$：
选择正整数$q、r、t$。如果$q、r$的平价相反，则$t$必须是4的倍数；否则$t$是不受限制的。现在写$p=t（q^2+r^2）/2$，然后写$a=pq^2$和$b=pr^2$。（这给出了$a\neq-b$提供的$q\neq-r$。）
让我们看几个简单的例子，试图使我们的数字变小。首先，$q，r$具有相同的平价。让我们试试$q=1，r=3$。那么$t$可以是任何东西；让我们把它设置为1。我们得到$p=5$，然后$a，b=5,45$。AM是25，GM是15，HM是9。
接下来，$p，q$的平价相反。让我们试试$q=1，r=2$。那么$t$必须是4的倍数；让我们定为4。我们得到$p=10$，然后得到$a，b=10,40$。AM是25，GM是20，HM是16。
当我们的数字不需要是整数时
正如我在上面所承认的，所有这些都假设你特别希望你的数字$a，b$是整数。如果你很高兴他们能成为任何实数呢？这给了你多少额外的自由？也许比你想象的要少；让我们看看。再一次，到目前为止，我只想做一些简单的事情，看看它们会走向何方。
首先，他们的AM是一个整数。称之为$n$；对于某些（不一定是整数）$d$，我们的数字是$a=n+d$和$b=n-d$。现在GM$\sqrt{ab}$也是一个整数，所以它的平方$ab$当然是，所以$（n+d）（n-d）=n^2-d^2$是一个整数。所以$d$是整数的平方根；假设它是$\sqrt{m}$。最后，HM是$\frac{2ab}{a+b}=\frac{ab}个=\frac{n^2-m}n$，所以$m$是$n$的整数倍，比如$kn$。
到目前为止，我们已经知道对于某些整数$n，k$，我们有$a，b=n\pm\sqrt{kn}$。我们唯一还没有使用的是GM本身（不仅仅是它的平方）是一个整数；也就是说，$n^2-kn=n（n-k）$是一个正方形；我们在上面建立的条件足以使AM和HM平方，而GM是整数的平方根。所以，唯一进一步的条件是$n（n-k）$是一个正方形。好吧，根据上面的TRICK1，这与整数$p，q，r$的$n=pq^2$和$n-k=pr^2$相同。
因此，当$a、b$不必是整数时，以下是一般的解决方案：
选择正整数$p、q、r$，其中$r<q$。写下$n=pq^2$和$k=p（q^2-r^2）$。设置$a，b=n\pm\sqrt{kn}$。
让我们再次看一个简单的例子，其中涉及的整数是小的，而$a、b$本身不是整数。首先，取$p=1，q=2，r=1$。然后$n=4$和$k=3$，我们的数字是$4\pm\sqrt{12}$。AM为4；总经理为2人；HM为1。
