这是一个快速收敛的级数，也是一个兰伯特级数，因为
$$S=\sum_{k\geq1}\frac{1}{2^{k+1}-1}=-1+\sum_}k\geq 1}\frac{1{2^k-1}=-1+\sum__{k\ geq1{\sum_m\geq1}\frac{1}{2^}}=-1++$$其中$d（n）$是$n$的除数。由于$d（n）\leq n$（这是一个非常粗糙的边界）$$S+1-\sum_{n=1}^{n}\frac{d（n）}{2^n}\leq\sum_{n>n}\frac{n}{2|n}=\frac}n+2}{2$n}$$因此，通过选择$N=30$，我们可以得到$$-1+\sum_{n=1}^{30}\frac{d（n）}{2^n}=\color{red}{0.6066951}49\ldot公司$$是$S$的一个非常好的近似值，带有正确的红色数字。
正如Yves Daoust所建议的，另一个好的策略是注意到如果$k$很大，$\frac{1}{2^k-1}$与$\frac{1}}{2$k}$非常接近，因此我们可以按以下方式执行序列加速：
$$S=\sum_{k\geq2}\frac{1}{2^k-1}=\frac}{2_2-1}+\sum_{k\gerq3}\frac{1}{2^k}+\sum_{k\ geq3}\ frac{1'{2^k（2^k-1）}$$将$S$变成$$S=\压裂{7}{12}+\压裂{1}{2^3（2^3-1）}+\sum_{k\geq4}\压裂{1}{4^k}+\sum_{k \geq4}\frac{1}{4^k（2^k-1）}$$或$$S=\frac｛815｝｛1344｝+\frac｛1｝｛4^4（2^4-1）｝+\sum_｛k\geq 5｝\frac｛1｝｛8^k｝+\sum_｛k\geq 5｝\frac｛1｝｛8^k（2^k-1）｝$$因此$S$等于$\frac{260927}{430080}$加上$\sum{k\geq5}\frac}{8^k（2^k-1）}$。只需对该技术进行三次迭代，我们就可以得到$S=\color{red}{0.60669}41\ldots$，第四步得到$S\approx\frac{1391613}{2293760}=\color{red}{0.6066951}20\ldot公司$
在紧凑的形式中，这种加速技术可导致：$$S=\sum_{k\geq1}\左（\frac{1}{2^{（k^2-1）}（2^{k+1}-1）}+\frac}{2${（k ^2+k）}，（2^k-1）}\右）$$折叠为：$$\boxed｛S=\frac｛1｝｛4｝+\sum_｛k\geq 2｝\frac｛8^k+1｝｛（2^k-1）\，2^｛k^2+k｝｝=0.6066951524152917637833\ldots｝$$
具有显著的收敛性提升。
现在，和的主项的行为类似于$2^{-k^2}$，而不是$2^}-k}$。
